Bài 10 trang 99 SBT Toán 11 tập 1: Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi:
A.   Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

B.   Hai đường thẳng không có điểm chung

C.   Hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nào.

D.   Hai đường thẳng cùng chéo nhau với đường thẳng thứ ba.

Lời giải

Hai đường thẳng chéo nhau khi chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng. Điều này có nghĩa đáp án C là đáp án đúng.

Đáp án cần chọn là C.

Bài 11 trang 99, 100 SBT Toán 11 tập 1: Cho ba đường thẳng a, b, c. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.   Nếu a và b cùng song song với c thì a song song với b.

B.   Nếu a và b cùng chéo nhau với c thì a và b chéo nhau.

C.   Nếu a song song với b, b và c chéo nhau thì a và c chéo nhau hoặc cắt nhau.

D.   Nếu a và b cắt nhau, b và c cắt nhau thì a và c cắt nhau.

Lời giải

Đáp án A sai. Xét trường hợp a song song với c, a trùng với b. Khi đó ta có a và b cùng song song với c, nhưng a không song song với b (do a trùng với b).

Đáp án B sai. Xét hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Chọn đường thẳng c∈(Q) bất kỳ. Trên mặt phẳng (P) chọn 2 đường thẳng a và b sao cho c không song song với hai đường thẳng trên. Khi đó ta có a và b cùng chéo nhau với c, nhưng a và b không thể chéo nhau do chúng cùng nằm trong (P).

Đáp án D sai. Xét hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Đường thẳng b cắt cả hai mặt phẳng lần lượt tại M và N. Chọn đường thẳng a⊂(P) sao cho M∈a; chọn đường thẳng c∈(Q) sao cho N∈c. Khi đó hai đường thẳng a và b cắt nhau tại M, hai đường thẳng b và c cắt nhau tại N, nhưng a và c không cắt nhau.

Đáp án cần chọn là đáp án C.

Bài 12 trang 100 SBT Toán 11 tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào song song với MN?
A. AB

B. AD

C. BD

D. AC

Lời giải

Ta có M là trung điểm của SA, N là trung điểm của SC, nên MN là đường trung bình của tam giác SAC.

Như vậy MN∥AC.

Đáp án đúng là D.

Bài 13 trang 100 SBT Toán 11 tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (BCD) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
A. BD

B. CD

C. BC

D. AB

Lời giải

Ta có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AD, nên MN là đường trung bình của tam giác ABD. Suy ra MN∥BD.

Xét hai mặt phẳng (CMN) và (BCD). Ta có C∈(CMN)∩(BCD) nên tồn tại giao tuyến giữa hai mặt phẳng (CMN) và (BCD). Hơn nữa, do C∉BD nên BD không là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

Ta thấy rằng, MN∥BD, MN⊂(CMN), BD⊂(BCD), nên suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (BCD) song song hoặc trùng với BD.

Nhưng do BD không là giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (BCD), nên giao tuyến của chúng song song với đường thẳng BD.

Đáp án đúng là A.

Bài 14 trang 100 SBT Toán 11 tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình bình hành. Gọi M, N,P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào KHÔNG song song với NP?
A. MQ

B. BD

C. AD

D. BC

Lời giải

Ta có N là trung điểm của SB, P là trung điểm của SC, suy ra NP là đường trung bình của tam giác SBC. Từ đó ta có NP∥BC. Chứng minh tương tự ta cũng có MQ∥AD.

Do ABCD là hình bình hành, nên AD∥BC.

Hai đường thẳng NP và AD phân biệt, cùng song song với BC nên chúng song song với nhau.

Mặt khác NP và MQ phân biệt, cùng song song với AD nên chúng song song với nhau.

Như vậy đường thẳng NP song song với các đường thẳng BC, AD, MQ.

Đáp án cần chọn là đáp án B.
Bài 15 trang 100 SBT Toán 11 tập 1: Quan sát hình căn phòng, hãy cho biết vị trí tương đối của các cặp đường thẳng a và b, a và c, b và c.

Lời giải

Nhìn hình vẽ, ta thấy a và c không cùng thuộc một mặt phẳng nào, nên 2 đường thẳng này chéo nhau.

Ta có b và c cùng thuộc mặt phẳng “sàn nhà”. Nhìn theo hình, ta thấy chúng cắt nhau tại một điểm ở góc phòng. Như vậy b và c chéo nhau.

Ta có a và b cùng thuộc mặt phẳng “tường nhà”. Nhìn theo hình, ta thấy hai đường thẳng không có điểm chung. Do đó a và b song song với nhau.

Bài 16 trang 100 SBT Toán 11 tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và P là một điểm nằm trên CD. Đường thẳng BC cắt mặt phẳng (MNP) tại Q. Chứng minh rằng PQ∥BD.

Lời giải

Ta có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AD, nên MN là đường trung bình của tam giác ABD. Suy ra MN∥BD.

Xét ba mặt phẳng (MNP), (ABD) và (BCD), ta có MN là giao tuyến của (ABD) và (MNP); PQ là giao tuyến của (BCD) và (MNP), BD là giao tuyến của (ABD) và (BCD).

Mà MN∥BD, nên theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng, ta suy ra PQ∥BD.

Bài toán được chứng minh.

Bài 17 trang 100 SBT Toán 11 tập 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SAD; M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD. Chứng minh rằng GK∥MN.

Lời giải

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AD.

Ta có G là trọng tâm của tam giác SAB, nên suy ra G∈SP và $ \frac{SG}{SP}=\frac{2}{3}$.

Chứng minh tương tự ta cũng có K∈SQ và $ \frac{SK}{SQ}=\frac{2}{3}$.

Tam giác SPQ có $ \frac{SG}{SP}=\frac{SK}{SQ}$ nên theo định lí Thales ta có GK∥PQ.

Xét tam giác ABD, ta có P là trung điểm của AB, Q là trung điểm của AD, nên PQ là đường trung bình của tam giác ABD. Suy ra PQ∥BD.

Chứng minh tương tự ta cũng có MN∥BD.

Từ đó suy ra GK∥MN. Bài toán được chứng minh.

Bài 18 trang 100 SBT Toán 11 tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J,K, L lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD, SAD.

a)    Chứng minh rằng bốn điểm I, J,K, L đồng phẳng và tứ giác IJKL là hình bình hành.

b)    Chứng minh rằng JL∥CD.

c)     Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SCD).

Lời giải

a) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

Ta có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC, nên MN là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra MN∥AC và MN=$ \frac{1}{2}$AC.

Tương tự ta có PQ∥AC và PQ=$ \frac{1}{2}$AC.

Suy ra MN∥PQ và MN=PQ. Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Ta có I là trọng tâm của tam giác SAB, nên suy ra I∈SM và $ \frac{SI}{SM}=\frac{2}{3}$.

Chứng minh tương tự ta cũng có J∈SN và $ \frac{SJ}{SN}=\frac{2}{3}$.

Tam giác SMN có $ \frac{SI}{SM}=\frac{SJ}{SN}=\frac{2}{3}$, theo hệ quả của định lí Thales ta suy ra IJ∥MN và $ \frac{IJ}{MN}=\frac{2}{3}$.

Chứng minh tương tự ta cũng có LK∥PQ và $ \frac{LK}{PQ}=\frac{2}{3}$.

Từ đó ta suy ra IJ∥LK và IJ=LK. Vậy bốn điểm I, J, K, L đồng phẳng và tứ giác IJLK là hình bình hành.

b) Ta có L là trọng tâm của tam giác SAD, nên suy ra L∈SQ và $ \frac{SL}{SQ}=\frac{2}{3}$.

Suy ra $ \frac{SL}{SQ}=\frac{SJ}{SN}$, tức là JL∥NQ.

Mặt khác N là trung điểm của BC,Q là trung điểm của DA nên suy ra NQ∥CD.

Vậy JL∥CD.

c) Xét hai mặt phẳng (IJKL) và (SCD), ta có JL∥CD, JL∈(IJKL), CD∈(SCD).

Hơn nữa K∈(IJKL)∩(SCD) và K∉JL, K∉CD

Xét hai mặt phẳng (IJKL)và (SCD), ta có K∈(IJKL)∩(SCD), tức là K nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Hơn nữa, K∉JL, K∉CD, nên JL và CD không là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

Mặt khác, ta có JL∥CD, JL∈(IJKL), CD∈(SCD) nên giao tuyến của (IJKL)và (SCD) là một đường thẳng đi qua K và song song với CD. Trên hình vẽ, giao tuyến của chúng là đường thẳng EF đi qua K và song song với CD.