Giải SBT Toán 11 cánh diều bài 2 Giới hạn của hàm số
Giải chi tiết sách bài tập Toán 11 tập 1 Cánh diều bài 2 Giới hạn của hàm số. Tech12h sẽ hướng dẫn giải tất cả câu hỏi và bài tập với cách giải nhanh và dễ hiểu nhất. Hi vọng, thông qua đó học sinh được củng cố kiến thức và nắm bài học tốt hơn.
Bài 12 trang 74 SBT Toán 11 Tập 1: Giả sử $\lim_{x\rightarrow x_{0}}$f(x)=L và $\lim_{x\rightarrow x_{0}}$g(x)=M (L, M ∈ ℝ). Phát biểu nào sau đây là sai?
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Với $\lim_{x\rightarrow x_{0}}$f(x)=L và $\lim_{x\rightarrow x_{0}}$$\frac{f(x)}{g(x)}$=$ \frac{L}{M}$ (L, M ∈ ℝ) thì (nếu M ≠ 0).
Do vậy đáp án D sai vì thiếu điều kiện M ≠ 0.
Bài 12 trang 74 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b). Phát biểu nào sau đây là đúng?
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Theo lí thuyết, ta có: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b), nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L thì $ \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}$f(x)=L
Bài 14 trang 74 SBT Toán 11 Tập 1: Với c, k là các hằng số và k nguyên dương thì
A. $ \lim_{x\rightarrow+\infty }\frac{c}{x^{k}}=0$
B. $ \lim_{x\rightarrow+\infty }\frac{c}{x^{k}}= +\infty$
C. $ \lim_{x\rightarrow+\infty }\frac{c}{x^{k}}= -\infty$
D. $ \lim_{x\rightarrow+\infty }\frac{c}{x^{k}}= +\infty$ hoặc $ \lim_{x\rightarrow+\infty }\frac{c}{x^{k}}= -\infty$
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có $ \lim_{x\rightarrow+\infty }\frac{c}{x^{k}}=0$
Bài 15 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu $ \lim_{x\rightarrow x_{o}}f(x)$=L thì $ \lim_{x\rightarrow x_{o}}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$
B. Nếu $ \lim_{x\rightarrow x_{o}}f(x)$=L thì $ L\geq 0$
C. Nếu f(x)$ \geq $ và $ \lim_{x\rightarrow x_{o}}f(x)$ thì $ L\geq 0$ và $ \lim_{x\rightarrow x_{o}}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$
D. Nếu $ \lim_{x\rightarrow x_{o}}f(x)$ thì $ L\geq 0$ và $ \lim_{x\rightarrow x_{o}}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Theo lí thuyết ta có: Nếu f(x)$ \geq $ và $ \lim_{x\rightarrow x_{o}}f(x)$ thì $ L\geq 0$ và $ \lim_{x\rightarrow x_{o}}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$
Bài 16 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞). Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L thì $ \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=L$
B. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → +∞, ta có f(xn) → L thì $ \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=L$ .
C. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a, ta có f(xn) → L thì $ \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=L$ .
D. Nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → L, ta có f(xn) →+∞ thì $ \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=L$
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Theo lí thuyết, ta có: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞), nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L thì $ \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=L$
Bài 17 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:
$ a) \lim_{x\rightarrow -2}x^{3}=-8$
$ b) \lim_{x\rightarrow -2}\frac{x^{2}-4}{x+2}=-4$
Lời giải:
a) Xét hàm số f(x) = x3. Giả sử (xn) là dãy số bất kì, thỏa mãn limxn = – 2.
Ta có limf(xn) = limxn3=(−2)3=-8
Vậy $\lim_{x\rightarrow -2}x^{3}=-8$.
b) Xét hàm số g(x)=$ \frac{x^{2}-4}{x+2}$.
Giả sử (xn) là dãy số bất kì, thỏa mãn xn ≠ – 2 và lim xn = – 2.
Ta có limg(xn)=$ lim\frac{x_{n}^{2}-4}{x_{n}^{2}+2}=lim\frac{(x_{n}-2)(x_{n}+2)}{x_{n}+2}$ =lim(xn−2)=-4
Vậy $\lim_{x\rightarrow -2}\frac{x^{2}-4}{x+2}=-4$
Bài 18 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $ \lim_{x\rightarrow 3}f(x)=4$, chứng minh rằng:
a) $ \lim_{x\rightarrow 3}3f(x)$=12
b) $ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{f(x)}{4}$=1
c) $ \lim_{x\rightarrow 3}\sqrt{f(x)}=2$
Lời giải:
a) $ \lim_{x\rightarrow 3}3f(x)$=$ \lim_{x\rightarrow 3}3.\lim_{x\rightarrow 3}f(x)=3.4=12$
b) $ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{f(x)}{4}$=$\frac{\lim_{x\rightarrow 3}f(x)}{\lim_{x\rightarrow 3}4}=\frac{4}{4}=1$
c) $ \lim_{x\rightarrow 3}\sqrt{f(x)}= \sqrt{\lim_{x\rightarrow 3}f(x)}=\sqrt{4}=2$
Bài 19 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 2 và cho biết các giới hạn sau: $ \lim_{x\rightarrow+\infty }f(x); \lim_{x\rightarrow-\infty }f(x); \lim_{x\rightarrow(-2)^{+}}f(x); \lim_{x\rightarrow(-2)^{-}}f(x)$
Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:
$ \lim_{x\rightarrow+\infty }f(x)=1$
$\lim_{x\rightarrow-\infty }f(x)=1$
$\lim_{x\rightarrow(-2)^{+}}f(x)=-\infty$
$\lim_{x\rightarrow(-2)^{-}}f(x)=+\infty$
Bài 20 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:
a) $ \lim_{x\rightarrow-1}(-4x^{2}+3x+1)$
b) $ \lim_{x\rightarrow-1}\frac{-4x+1}{x^{2}-x+3}$
c) $ \lim_{x\rightarrow2}\sqrt{3x^{2}+5x+4}$
d) $ \lim_{x\rightarrow-\infty }\frac{-3+\frac{4}{x}}{2x^{2}+3}$
e) $ \lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{-3}{x-2}$
f) $ \lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{5}{x+2}$
Lời giải:
a) $ \lim_{x\rightarrow-1}(-4x^{2}+3x+1)$=$ \lim_{x\rightarrow -1}(-4x^{2})+\lim_{x\rightarrow -1}(3x)+\lim_{x\rightarrow -1}1=-4-3+1=-6$
b) $ \lim_{x\rightarrow-1}\frac{-4x+1}{x^{2}-x+3}$=$\frac{\lim_{x\rightarrow -1}(-4x+1)}{\lim_{x\rightarrow -1}(x^{2}-x+3)}=\frac{\lim_{x\rightarrow -1}(-4x)=\lim_{x\rightarrow -1}1}{\lim_{x\rightarrow -1}x^{2}-\lim_{x\rightarrow -1}x+\lim_{x\rightarrow -1}3}=\frac{4+1}{1-(-1)+3}=1$
c) Vì $ \lim_{x\rightarrow2}\sqrt{3x^{2}+5x+4}$=$\lim_{x\rightarrow 2}(3x^{2})=\lim_{x\rightarrow 2}(5x)+\lim_{x\rightarrow 2}4=3.2^{2}+5.2+4=26$
Do đó, $ \lim_{x\rightarrow2}\sqrt{3x^{2}+5x+4}$=$\sqrt{26}$
e)Vì $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}(-3)=-3< 0;\lim_{x\rightarrow 2^{+}}(x-2)=0$ và x-2>0 với mọi x>2
Do đó, $ \lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{-3}{x-2}$=-$\infty$
g)Vì $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}5=5>0;\lim_{x\rightarrow 2^{+}}(x+2)=0$ và x+2>0 với mọi x>-2
Do đó, $ \lim_{x\rightarrow 2^{+}}\frac{5}{x+2}$=$+\infty$
Bài 21 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{-5x+2}{3x+1}$
b) $ \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{-2x+3}{3x^{2}+2x+5}$
c) $ \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{9x^{2}+3}}{x+1}$
d) $ \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{\sqrt{9x^{2}+3}}{x+1}$
e) $ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{2x^{2}-8x+6}{x^{2}-1}$
f) $ \lim_{x\rightarrow -3}\frac{-x^{2}+2x+15}{x^{2}+4x+3}$
Lời giải:
a) $\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{-5x+2}{3x+1}$=$\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{-5+\frac{2}{x}}{3+\frac{1}{x}}=\frac{-5}{3}$
b) $ \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{-2x+3}{3x^{2}+2x+5}$=$\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{\frac{-2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}{3+\frac{2}{x}+\frac{5}{x^{2}}}=\frac{0}{3}=0$
e)$ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{2x^{2}-8x+6}{x^{2}-1}$=$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(2x-6)(x-1)}{(x+1)(x-1)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2x-6}{x+1}=-2$
f) $ \lim_{x\rightarrow -3}\frac{-x^{2}+2x+15}{x^{2}+4x+3}$=$\lim_{x\rightarrow -3}\frac{(5-x)(x+3)}{(x+1)(x+3)} =\lim_{x\rightarrow -3}\frac{5-x}{x+1}=-4$
Bài 22 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-4}{x-1}=2$. Tính:
a) $ \lim_{x\rightarrow 1}f(x)$
b) $ \lim_{x\rightarrow 1}3f(x)$
Lời giải:
Điều này mâu thuẫn với giả thiết $ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-4}{x-1}=2$.
b) Ta có $\lim_{x\rightarrow 1}3f(x)=\lim_{x\rightarrow 1}3.\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$=3.4=12
Bài 23 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) thoả mãn $ \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=2022$. Tính $ \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{xf(x)}{x+1}$
Lời giải:
Ta có $ \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{xf(x)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(x)}{1+\frac{1}{x}}=\frac{\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)}{\lim_{x\rightarrow +\infty }(1+\frac{1}{x})}=\frac{\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)}{\lim_{x\rightarrow +\infty }1+\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x}}=\frac{2022}{1+0}=2022$
Vậy $ \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{xf(x)}{x+1}$=2022
Bài 24 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho số thực a và hàm số (x) thoả mãn $ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty $. Chứng minh rằng:
$ \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-3}{2f(x)+1}=\frac{1}{2}$
Lời giải:
Ta có $ \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-3}{2f(x)+1}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{1-\frac{2}{f(x)}}{2+\frac{1}{f(x)}}=\frac{\lim_{x\rightarrow a}(1-\frac{3}{f(x)})}{\lim_{x\rightarrow a}(2+\frac{1}{f(x)})}=\frac{\lim_{x\rightarrow a}1-\lim_{x\rightarrow a}\frac{3}{f(x)}}{\lim_{x\rightarrow a}2+\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{f(x)}}=\frac{\lim_{x\rightarrow a}1-\frac{\lim_{x\rightarrow a}3}{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}}{\lim_{x\rightarrow a}2+\frac{\lim_{x\rightarrow a}1}{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}}=\frac{1-0}{2+0}=\frac{1}{2}$
Vậy $ \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-3}{2f(x)+1}=\frac{1}{2}$
Bài 25 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t2 – t3 (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t1, t2 là Vtb=$ \frac{g(t_{2}-g(t_{1}))}{t_{2}-t_{1}}$. Tính $ \lim_{t\rightarrow 10}\frac{g(t)-g(10)}{t-10}$ và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.
Lời giải:
Ta có g(10) = 45 . 102 – 103.
Khi đó $ \lim_{t\rightarrow 10}\frac{g(t)-g(10)}{t-10}= \lim_{t\rightarrow 10}\frac{45t^{2}-t^{3}-45.10^{2}-10^{3}}{t-10}=\lim_{t\rightarrow 10}\frac{(45t^{2}-45.10^{2})-(t^{3}-10^{3})}{t-10}=\lim_{t\rightarrow 10}\frac{45(t-10)(t+10)-(t-10)(t^{2}+10t+100)}{t-10}=\lim_{t\rightarrow 10}(-t^{2}+35t+350)=600$
Vậy $ \lim_{t\rightarrow 10}\frac{g(t)-g(10)}{t-10}$=600
Từ kết quả trên, ta thấy tốc độ tăng người bệnh ngay tại thời điểm t = 10 ngày là 600 người/ngày.
Nội dung quan tâm khác
Giải bài tập những môn khác
Giải sgk lớp 11 kết nối tri thức
Giải sgk lớp 11 chân trời sáng tạo
Giải sgk lớp 11 cánh diều
Giải SBT lớp 11 kết nối tri thức
Giải SBT lớp 11 chân trời sáng tạo
Giải SBT lớp 11 cánh diều
Giải chuyên đề học tập lớp 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề toán 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề ngữ văn 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề vật lí 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề hóa học 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề sinh học 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề kinh tế pháp luật 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề lịch sử 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề địa lí 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề mĩ thuật 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề âm nhạc 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề công nghệ chăn nuôi 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề công nghệ cơ khí 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề tin học 11 định hướng Khoa học máy tính kết nối tri thức
Giải chuyên đề tin học 11 định hướng Tin học ứng dụng kết nối tri thức
Giải chuyên đề quốc phòng an ninh 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề hoạt động trải nghiệm hướng nghiệp 11 kết nối tri thức
Giải chuyên đề học tập lớp 11 chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề học tập lớp 11 cánh diều
Trắc nghiệm 11 Kết nối tri thức
Trắc nghiệm 11 Chân trời sáng tạo
Trắc nghiệm 11 Cánh diều
Bộ đề thi, đề kiểm tra lớp 11 kết nối tri thức
Đề thi Toán 11 Kết nối tri thức
Đề thi ngữ văn 11 Kết nối tri thức
Đề thi vật lí 11 Kết nối tri thức
Đề thi sinh học 11 Kết nối tri thức
Đề thi hóa học 11 Kết nối tri thức
Đề thi lịch sử 11 Kết nối tri thức
Đề thi địa lí 11 Kết nối tri thức
Đề thi kinh tế pháp luật 11 Kết nối tri thức
Đề thi công nghệ cơ khí 11 Kết nối tri thức
Đề thi công nghệ chăn nuôi 11 Kết nối tri thức
Đề thi tin học ứng dụng 11 Kết nối tri thức
Đề thi khoa học máy tính 11 Kết nối tri thức
Bộ đề thi, đề kiểm tra lớp 11 chân trời sáng tạo
Bộ đề thi, đề kiểm tra lớp 11 cánh diều
Đề thi Toán 11 Cánh diều
Đề thi ngữ văn 11 Cánh diều
Đề thi vật lí 11 Cánh diều
Đề thi sinh học 11 Cánh diều
Đề thi hóa học 11 Cánh diều
Đề thi lịch sử 11 Cánh diều
Đề thi địa lí 11 Cánh diều
Đề thi kinh tế pháp luật 11 Cánh diều
Đề thi công nghệ cơ khí 11 Cánh diều
Đề thi công nghệ chăn nuôi 11 Cánh diều
Đề thi tin học ứng dụng 11 Cánh diều
Đề thi khoa học máy tính 11 Cánh diều
Bình luận