1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa

HĐ 1:

a) Ta có bảng:

b) Lấy dãy (x$_{n}$) bất kí thỏa mãn x$_{n}$ → 1 ta có:

f(x$_{n}$) = 2x$_{n}$

=> limf(x$_{n}$) = lim2x$_{n}$ = 2limx$_{n}$ = 2.1 = 2

Định nghĩa: Cho khoảng K chứa điểm x$_{0}$ và hàm số f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x$_{0}$} hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x$_{0}$ nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì, (x$_{n}$) ∈ K\{x$_{0}$} và x$_{n}$→x$_{0}$ thì f(x$_{n}$)→L.

Kí hiệu $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=L$ hay f(x)→L khi x→x$_{0}$.

Nhận xét: $\lim_{x\rightarrow x_{0}}x=x_{0};\lim_{x\rightarrow x_{0}}c=c$, với c là hằng số.

Ví dụ 1 (SGK -tr.60)

Chú ý: Hàm số f(x) có thể không xác định tại x = x$_{0}$ nhưng vẫn tồn tại giới hạn của hàm số đó khi x dần tới x$_{0}$.

Luyện tập 1

Giả sử $(x_{n})$ là dãy số bất kì, thỏa mãn $\lim x_{n}=2$.

Ta có: $\lim_{x\rightarrow 2} x_{n}^{2}=lim2^{2}=4$ (đpcm). 

2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số

HĐ 2:

a) Giả sử (x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$limf(x_{n})=lim(x_{n}^{2}-1)=limx_{n}^{2}-1=1-1=0$

⇒ limf(x) = 0.

$limg(x_{n}) = lim(x_{n}+1) = limx_{n}+1 = 2$

⇒ limg(x) = 2.

b) Ta có: $f(x) + g(x) = x^{2} – 1 + x + 1 = x^{2} + x$

(x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$lim(f(x_{n})+g(x_{n}))=lim(x_{n}^{2}+x_{n})=limx_{n}^{2}+limx_{n}=1^{2}+1=2$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x)+g(x))=2$

Ta lại có: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)+\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)=0+2=2$

Vậy $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x)+g(x))=\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)+\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)=2$

c) Ta có: $f(x) – g(x) = x^{2} – 1 – x – 1 = x^{2} – x – 2$

(x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$lim(f(x_{n})-g(x_{n}))=lim(x_{n}^{2}-x_{n}-2)=limx_{n}^{2}-limx_{n}-2=1^{2}-1-2=-2$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x)-g(x))=-2$

Ta lại có: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)-\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)=0-2=-2$

Vậy $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x)-g(x))=\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)-\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)=-2$

d) Ta có: $f(x).g(x) = (x^{2} – 1)(x + 1) = x^{3} + x^{2} – x – 1$

(x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$lim(f(x_{n}).g(x_{n}))=lim(x_{n}^{3}+x_{n}^{2}-x_{n}-1)$

$=limx_{n}^{3}+limx_{n}^{2}-limx_{n}-1=1^{3}+1^{2}-1-1=0$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x).g(x))=0$

Ta lại có: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x).\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)=0.2=0$

Vậy $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(f(x).g(x))=\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x).\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)=0$

e) Ta có: $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^{2}-1}{x+1}$

(x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn limx$_{n}$ = 1. Khi đó ta có:

$lim\frac{f(x_{n})}{g(x_{n})}=lim\frac{x_{n}^{2}-1}{x_{n}+1}$

$=lim\frac{(x_{n}-1)(x_{n}+1)}{x_{n}+1}=lim(x_{n}-1)=0$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=0$

Ta lại có: $\frac{limf(x)}{limg(x)}=\frac{0}{2}=0$

Vậy $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)}{\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)}$

Kết luận

a) Nếu $\lim_{x\rightarrow x_{o}}f(x)=L$ và $\lim_{x\rightarrow x_{o}}g(x)=M$ (L, M ∈ R). Khi đó:

• $\lim_{x\rightarrow x_{o}}[f(x)+g(x)]=L+M$
• $\lim_{x\rightarrow x_{o}}[f(x)-g(x)]=L-M$
• $\lim_{x\rightarrow x_{o}}[f(x).g(x)]=L.M$
• $\lim_{x\rightarrow x_{o}}[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{L}{M}$, (M ≠ 0)

b) Nếu f(x) ≥ 0 và $\lim_{x\rightarrow x_{o}}f(x)=L$ thì L ≥ 0 và $\lim_{x\rightarrow x_{o}}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$.

Ví dụ 2 (SGK tr.68)

Luyện tập 2

a) $\lim_{x\rightarrow 2}\left [ \left ( x+1 \right )\left ( x^{2}+2x \right ) \right ] =24$;

b) $\lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{x^{2}+x+3}=3$

3. Giới hạn một phía

HĐ 3

a) Xét dãy số (u$_{n}$) sao cho u$_{n}$ < 0 và lim u$_{n}$ = 0. Khi đó f(u$_{n}$) = – 1 và lim f(u$_{n}$) = – 1.

b) Xét dãy số (v$_{n}$) sao cho v$_{n}$ > 0 và lim v$_{n}$ = 0. Khi đó f(v$_{n}$) = 1 và lim f(v$_{n}$) = 1.

Kết luận

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x$_{0}$). 

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x→x$_{0}$ nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì thoả mãn a < x$_{n}$ < x$_{0}$ và x→x$_{0}$, thì f(x$_{n}$)→L, kí hiệu $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=L$.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x$_{0}$; b). 

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x→x$_{0}$ nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì thoả mãn x$_{0}$ < x$_{n}$ < b và x$_{n}$→x$_{0}$, thì f(x$_{n}$)→L, kí hiệu $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=L$.

Ví dụ 3 (SGK -tr.69)

Luyện tập 3

$\lim_{x\rightarrow -4^{+}}(\sqrt{x+4}+x)=\sqrt{-4+4}-4=-4$

Định lí: $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=L$ và $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=L$ khi và chỉ khi $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=L$

Ví dụ 4 (SGK -tr.69)

2. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC 

HĐ 4:

a) Hàm số f(x) tiến dần tới giá trị 0 khi x dần tới dương vô cực.

b) Hàm số tiến dần tới âm vô cực thì giá trị f(x) gần tới giá trị 0 .

Định nghĩa:

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞). 

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x→+∞ nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì, x$_{n}$ > a và x$_{n}$ → +∞, ta có f(x$_{n}$)→L.

Kí hiệu $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=L$ hay f(x)→L khi x→+∞.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-∞; a). 

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x→-∞ nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì, x$_{n}$ < b và x$_{n}$→-∞, ta có f(x$_{n}$)→L.

Kí hiệu$\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=L$ hay f(x)→L khi x→-∞.

Chú ý:

• Với c, k là hằng số, k là một số nguyên dương ta có: 

$\lim_{x\rightarrow +\infty }c=c;\lim_{x\rightarrow -\infty }c=c$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{c}{x^{k}}=0;\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{c}{x^{k}}=0$

• Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số khi x→x$_{0}$ vẫn còn đúng khi x→+∞ hoặc x→-∞.

Ví dụ 5 (SGK – tr.70)

Luyện tập 4

$\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{3x+2}{4x-5}=\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{3+\frac{2}{x}}{4-\frac{5}{x}}=\frac{3+0}{4-0}=\frac{3}{4}$

3. GIỚI HẠN VÔ CỰC (MỘT PHÍA) CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

HĐ 5

a) Khi biến x dần tới 1 về bên phải thì f(x) dần tới +∞.

b) Khi biến x dần tới 1 về bên trái thì f(x) dần tới -∞.

Kết luận

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞). 

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là +∞ khi x→a$^{+}$ nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì x$_{n}$ > a, x$_{n}$→a, ta có f(x$_{n}$)→+∞.

Kí hiệu $\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=+\infty $, hay f(x)→+∞ khi x→a$^{+}$.

• Các trường hợp $\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=-\infty ;\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=+\infty ;\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=-\infty $ được định nghĩa tương tự.

Chú ý: $\lim_{x\rightarrow a^{+}}\frac{1}{x-a}=+\infty ;\lim_{x\rightarrow a^{-}}\frac{1}{x-a}=-\infty $

Ví dụ 6 (SGK -tr.71)

Luyện tập 5

$\lim_{x\rightarrow -2^{-}} \frac{1}{x+2}=\frac{1}{-2+2}=-\infty$

4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

HĐ 6: Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:

a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới dương vô cùng.

b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới âm vô cùng.

Kết luận

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞). 

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là +∞ khi x→+∞ nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì x$_{n}$ > a, và x$_{n}$→+∞ ta có f(x$_{n}$)→+∞.

Kí hiệu $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty $, hay f(x)→+∞ khi x→+∞.

• Các trường hợp $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=-\infty ;\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=+\infty ;\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=-\infty $ tương tự.

Chú ý:

• $\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{k}=+\infty $, k là số nguyên dương;
• $\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{k}=+\infty $, k là số nguyên dương chẵn;
• $\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{k}=-\infty $, k là số nguyên dương lẻ.

Ví dụ 7 (SGK -tr.72)

Luyện tập 6

$\lim_{x\rightarrow -\infty} x^{4}= +\infty$