BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV

BT 1: Trong không gian, hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi:

A. Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. 

B. Hai đường thẳng không có điểm chung. 

C. Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng. 

D. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba.

Đáp án chuẩn:

A.

BT 2: Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án chuẩn:

D. 

BT 3: Trong không gian, đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi:

A. Đường thẳng đó song song với một đường thẳng thuộc mặt phẳng. 

B. Đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung. 

C. Đường thẳng đó không có điểm chung với một đường thẳng thuộc mặt phẳng. 

D. Đường thẳng đó không có điểm chung với hai đường thẳng thuộc mặt phẳng.

Đáp án chuẩn:

B. 

BT 4: Trong không gian, hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi:

A. Có một mặt phẳng chứa hai đường thẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng còn lại. 

B. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng. 

C. Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba. 

D. Hai mặt phẳng không có điểm chung.      

Đáp án chuẩn:

A. 

BT 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BD. Điểm P thuộc cạnh AC sao cho PA = 2PC.

a) Xác định giao điểm E của đường thẳng MP với mặt phẳng (BCD). 

b) Xác định giao điểm Q của đường thẳng CD với mặt phẳng (MNP). 

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (ACD) với mặt phẳng (MNP). 

d) Gọi I là giao điểm của MQ và NP, G là trọng tâm của tam giác ABD. Chứng minh rằng C, I, G thẳng hàng.

Đáp án chuẩn:

a) Trong mp(ABC), kéo dài MP cắt BC tại E. 

b) Nối NE, NE cắt CD tại Q.

c) PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).

d) GC là giao tuyến của hai mặt phẳng (ANC) và (MDC).

Mặt khác, 

=> giao tuyến GC của hai mặt phẳng (ANC) và (MDC) đi qua điểm I.

=> C, I, G thẳng hàng

BT 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (AMN) với mỗi mặt phẳng sau:

a) (SCD)

b) (SBC)

Đáp án chuẩn:

a)

b)

BT 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB∥CD) và AB = 2CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng:

a) MN ∥ (SCD)

b) DM ∥ (SBC)

c) Lấy điểm I thuộc cạnh SD sao cho SI/SD = 2/3. Chứng minh rằng: SB ∥ (AIC).

Đáp án chuẩn:

a mà nên

b) Xét tứ giác MNCD có: MN // CD và MN = CD nên MNCD là hình bình hành

=> DM // CN mà nên

c) Chứng minh (theo định lí Thalès đảo) mà

BT 8: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Lấy M, M' lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, B'C'; lấy các điểm G, G', K lần lượt thuộc các đoạn AM, A'M', A'B sao cho…

a) Chứng minh rằng C'M // (A'BM'). 

b) Chứng minh rằng G'K // (BCC'B').

c) Chứng minh rằng (GG'K) // (BCC'B'). 

d) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua K và song song với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng (α) cắt cạnh CC' tại điểm I. Tính IC/IC’

Đáp án chuẩn:

a) BMC’M’ là hình bình hành =>

=>

b) G’K // M’B (theo định lí Thalès đảo) mà

c) Chứng minh

G’K, G’G cắt nhau tại điểm G’ và cùng nằm trong (GG’K)

Do đó

d)  

BT 9: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, C'D'.

a) Chứng minh rằng (A'DN) // (B'CM). 

b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của đường thẳng D'B với các mặt phẳng (A'DN), (B'CM). Chứng minh rằng D'E = BF = ½.EF

Đáp án chuẩn:

a) Chứng minh

A’D, DN cắt nhau tại điểm D và cùng nằm trong mp(A’DN)

=>

b) Chứng minh ;

Từ (1) và (2) suy ra

=> ⇔

Chứng minh tương tự:

=> hay

Do đó nên

BT 10: Một khối gỗ có các mặt đều là một phần của mặt phẳng với (ABCD) ∥ (EFMH), CK ∥ DH. Khối gỗ bị hỏng một góc (Hình 91). Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng (R) đi qua K và song song với mặt phẳng (ABCD).

a) Hãy giúp bác thợ mộc xác định giao tuyến của mặt phẳng (R) với các mặt của khối gỗ để cắt được chính xác. 

b) Gọi I, J lần lượt là giao điểm DH, BF với mặt phẳng (R). Biết BF = 60 cm, DH = 75 cm, CK = 40 cm. Tính FJ.

Đáp án chuẩn:

a) ;

;

b)