BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

I. ĐỊNH NGHĨA

Bài 1: Hình 10 mô tả một người thợ xây đang thả dây dọi vuông góc với nền nhà. Coi dây dọi như đường thẳng d và nền nhà như mặt phẳng (P), khi đó Hình 10 gợi nên hình ảnh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). Người thợ xây đặt chiếc thước thẳng ở một vị trí tùy ý trên nền nhà. Coi chiếc thước thẳng đó là đường thẳng a trong mặt phẳng (P), nêu dự đoán về mối liên hệ giữa đường thẳng d và đường thẳng a.

Đáp án chuẩn: 

Đường thẳng d và đường thẳng a vuông góc với nhau.

II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Bài 1: Hình 12 mô tả cửa tròn xoay, ở đó trục cửa và hai mép cửa gợi nên hình ảnh các đường thẳng d, a, b; sàn nhà coi như mặt phẳng (P) chứa a và b. Hỏi đường thẳng d có vuông góc với mặt phẳng (P) hay không? 

Đáp án chuẩn: 

d⊥P

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA ⊥ (ABCD) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC) 

Đáp án chuẩn: 

SA⊥BD, AC⊥BD => BD⊥SAC

III. TÍNH CHẤT

Bài 1: Cho điểm O và đường thẳng a. Gọi b, c là hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với đường thẳng a (Hình 14).

a) Mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng b, c có vuông góc với đường thẳng a hay không?

b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a?

Đáp án chuẩn: 

a) a⊥P

b) Một mặt phẳng duy nhất 

Bài 2: Hình 17 mô tả một cửa gỗ có dạng hình chữ nhật, ở đó nẹp cửa và mép dưới cửa lần lượt gợi nên hình ảnh hai đường thẳng d và a. Điểm M là vị trí giao giữa mép gắn bản lề và mép dưới của cửa. Hãy giải thích tại sao khi quay cánh cửa, mép dưới cửa là những đường thẳng a luôn nằm trên mặt phẳng đi qua điểm M cố định và vuông góc với đường thẳng d.

Đáp án chuẩn: 

Vì sàn nhà là một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d. Mà đường thẳng a luôn nằm trên mặt phẳng đó vì vậy đường thẳng d luôn vuông góc với đường thẳng a

Bài 3: Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Gọi a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) sao cho a và b không đi qua O. Lấy hai mặt phẳng (Q), (R) lần lượt đi qua O và vuông góc a, b (Hình 18). 

a) Giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng (Q), (R) có vuông góc với mặt phẳng (P) hay không?

b) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua O và vuông góc với (P)?

Đáp án chuẩn: 

a) {∆⊥a⊂P; ∆⊥b⊂P a∩b   => ∆⊥P

b) Chỉ có duy nhất 1 đường thẳng

Bài 4: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng a cắt nhau tại điểm O, a ⊥ (P). Giả sử điểm M thỏa mãn OM ⊥ (P) Chứng minh rằng M ∈ a 

Đáp án chuẩn: 

{a∩P=O;a⊥P;OM⊥P  => M∈a

IV. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Bài 1: Trong Hình 19, hai thanh sắt và bản phẳng để ngồi gợi nên hình ảnh hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P).

Quan sát Hình 19 và cho biết:

a) Nếu hai đường thẳng a và b song song với nhau và mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a thì mặt phẳng (P) có vuông góc với đường thẳng b hay không;

b) Nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P) thì chúng có song song với nhau hay không.

Đáp án chuẩn: 

a) Mặt phẳng (P) có vuông góc với đường thẳng b 

b) Chúng có song song với nhau

Bài 2: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) cắt nhau tại điểm O. Lấy các điểm A, B thuộc d và khác O; các điểm A’, B’ thuộc (P) thỏa mãn AA’ ⊥ (P), BB’ ⊥ (P). Chứng minh rằng:

AA'BB'=OAOB

Đáp án chuẩn: 

AA'P, BB'P => AA'//BB' => AA'BB'=OAOB (định lí Thalès)

Bài 3: Trong Hình 21, hai mặt trần của nhà cao tầng và cột trụ bê tông gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng (P), (Q) phân biệt và đường thẳng a.

Quan sát Hình 21 và cho biết:

a) Nếu hai mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau và đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì đường thẳng a có vuông góc với mặt phẳng (Q) hay không;

b) Nếu hai mặt phẳng (P), (Q) cùng vuông góc với đường thẳng a thì chúng có song song với nhau hay không.

Đáp án chuẩn: 

a) a⊥Q

b) (P)//(Q)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Mặt phẳng (P) khác với mặt phẳng (ABC), vuông góc với đường thẳng SA và lần lượt cắt các đường thẳng SB, SC tại hai điểm phân biệt B’, C’. Chứng minh rằng B’C’ // BC.

Đáp án chuẩn: 

P⊥SA; ABC⊥SA   => (P)//(ABC) => B'C'//BC

V. Phép chiếu vuông góc

Bài 1: Trong mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian.

a) Có bao nhiêu đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P)?

b) Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại bao nhiêu giao điểm

Đáp án chuẩn: 

a) Có 1 đường thẳng

b) Đường thẳng (d) cắt mặt phẳng (P) tại 1 điểm

Bài 2: Cho mặt phẳng (P) và đoạn thẳng AB. Xác định hình chiếu của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) 

Đáp án chuẩn: 

Trường hợp 1: AB⊄P:

- Bước 1: Tìm hình chiếu A' của A lên P

- Bước 2: Tìm hình chiếu B' của B lên P

- Bước 3: Nối A' với B' ta được đoạn thẳng A'B' là hình chiếu của AB lên P.

Trường hợp 2: Đoạn AB có A hoặc B thuộc P.

- Bước 1: Hình chiếu của điểm A (hoặc B) thuộc (P) lên P là chính nó.

- Bước 2: Xác định hình chiếu A' (hoặc B’) của điểm còn lại lên P

- Bước 3: Nối điểm A và B' (hoặc A' và B) lại ta được hình chiếu của đoạn AB lên P.

Trường hợp 3: AB⊥P tại A (hoặc B).

- Hình chiếu của AB lên P chính là điểm B (hoặc điểm A)

Trường hợp 4: AB⊂P

VI. ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC

Bài 1: Trong Hình 27, mặt sàn gợi nên hình ảnh mặt phẳng (P), đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng a’ là hình chiếu của đường thẳng a trên mặt phẳng (P), đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P). Quan sát Hình 27 và cho biết:

a) Nếu đường thẳng d vuông góc với hình chiếu a’ thì đường thẳng d có vuông góc với a hay không;

b) Ngược lại, nếu đường thẳng d vuông góc với a thì đường thẳng d có vuông góc với hình chiếu a’ hay không.

Đáp án chuẩn: 

a)  d ⊥ a

b) d ⊥ a′

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng các tam giác SBC và SCD là các tam giác vuông.

Đáp án chuẩn: 

+) BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB => ∆SBC vuông tại B

+) CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD => ∆SCD vuông tại D

VI. Bài tập

Bài 1: Quan sát Hình 30 (hai cột của biển báo, mặt đường), cho biết hình đó gợi nên tính chất nào về quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. 

Đáp án chuẩn: 

• Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

• Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

a) Xác định hình chiếu của các đường thẳng SA, SB, SC trên mặt phẳng (ABC).

b) Giả sử BC ⊥ SA, CA ⊥ SB. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC và AB ⊥ SC.

Đáp án chuẩn: 

a) HA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC)

HB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC)

HC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABC)

b) BC⊥SAH => BC⊥AH (1)

AB⊥SCH => AB⊥CH (2)

Từ (1)(2) => H là trực tâm ∆ABC

=> CH⊥AB, mà SH⊥AB => AB⊥SCH => AB⊥SC

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD), các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác BCD, ACD (Hình 31). Chứng minh rằng:

a) CD ⊥ (ABH);

b) CD ⊥ (ABK);

c) Ba đường thẳng AK, BH, CD cùng đi qua một điểm.

Đáp án chuẩn: 

a) AB⊥CD ; BH⊥CD => CD⊥ABH

b) AB⊥CD; AK⊥CD => CD⊥ABK

c) CD⊥ABH,CD⊥ABK=> (ABH)≡(ABK)

Xét BCD: Gọi BH cắt CD tại I

⇒AI⊥CD tại I (Vì AI∈ABH, ABH⊥CD)

Mà AK  ⊥CD và AI, AK∈ACD

⇒A, K, I thẳng hàng.

Vậy AK, BH, CD cùng đi qua một điểm

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Tam giác ABC nhọn có trực tâm H là hình chiếu của S trên (ABCD). Chứng minh rằng:

a) SA ⊥ AD;

b) SC ⊥ CD.

Đáp án chuẩn: 

a) SH⊥BC; AH⊥BC => BC⊥SAH => SA⊥BC

Mà BC//AD (ABCD là hình bình hành) => SA⊥AD

b) SH⊥AB; CH⊥AB  => AB⊥SHC => AB⊥SC

Mà AB//CD (ABCD là hình bình hành) => SC⊥CD

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABC), BC ⊥ AB. Lấy hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC và điểm P nằm trên cạnh SA. Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác vuông.

Đáp án chuẩn: 

BC ⊥ MP; MN // BC => MN ⊥ MP =>  ∆MNP là tam giác vuông tại M