1. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Một phương trình với ẩn x có dạng f(x) = g(x), trong đó vế trái f(x) và vế phải g(x) là hai biểu thức của cùng một biến x. Khi giải phương trình này, ta cần lưu ý tới điều kiện đối với ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).

HĐ1

a) Ta có: x$^{2}$ - 3x + 2 = 0 (1)

<=> x=1 hoặc x = 2

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S₁ = {1; 2}. 

Ta có: (x –1)(x –2)=0 (2)

<=> x=1 hoặc x = 2

Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S₂ = {1; 2}.

b) Hai tập S₁, S₂ bằng nhau vì cùng là tập {1; 2}.

Định nghĩa: Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình f₁(x) = g₁(x) đương đương với phương trình f₂(x) = g₂(x) thì ta viết f$_{1}$(x) = g$_{1}$(x) <=> f$_{2}$(x) = g$_{2}$(x).

Ví dụ 1: (SGK – tr.32).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.32,33).

Luyện tập 1

Tập nghiệm của phương trình $x-1=0$ là $S_{1}=\left \{ 1 \right \}$.

Tập nghiệm của phương trình $\frac{x^{2}-1}{x+1}=0$ là $S_{2}=\left \{ 1 \right \}$ (điều kiện xác định x ≠ 1)

Vì $S_{2} = S_{1}$ nên hai phương trình $x-1=0$ và $\frac{x^{2}-1}{x+1}=0$ tương đương. 

HĐ2

Phương trình 3x ‒ 6 = 0 có tập nghiệm S$_{1}$ = {2}.

Phương trình 3x = 6 có tập nghiệm S$_{2}$ = {2}.

Vì S$_{1}$ = S$_{2}$ nên hai phương trình 3x ‒ 6 = 0 và 3x = 6 tương đương

Khi đó ta viết 3x - 6 = 0 <=> 3x = 6

Vậy khẳng định 3x - 6 = 0 <=> 3x = 6 là chính xác.

Định lí: Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương.

• Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
• Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

Ví dụ 2: (SGK – tr.33).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.33).

Luyện tập 2

Ta có: (x – 1)$^{2}$ = 5x – 11.

⇔ x$^{2}$ – 2x + 1 – (5x – 11) = 0

⇔ x$^{2}$ – 2x + 1 – 5x + 11 = 0

⇔ x$^{2}$ – 7x + 12 = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 4

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {3; 4}.

2. PHƯƠNG TRÌNH SIN X = M

HĐ3

a) Với x ∈ (-π; π) ta thấy sin x = $\frac{1}{2}$ tại x = 6 và x = $\frac{5\pi }{6}$.

Do đó đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = sinx , x ∈ [-π; π] tại hai giao điểm A$_{0}$, B$_{0}$ có hoành độ lần lượt là $x_{A_{o}}=\frac{\pi }{6}$ và $x_{B_{o}}=\frac{5\pi }{6}$.

b) Với x ∈ [π; 3π] ta thấy sin x = $\frac{1}{2}$ tại x = $\frac{13\pi }{6}$ và x = $\frac{17\pi }{6}$.

Do đó đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = sin x, x ∈ [π; 3π] tại hai giao điểm A$_{1}$, B$_{1}$ có hoành độ lần lượt là $x_{A_{1}}=\frac{13\pi }{6}$ và $x_{A_{2}}=\frac{17\pi }{6}$.

Nhận xét: Phương trình sin x = $\frac{1}{2}$ có các nghiệm là:

x = $\frac{\pi }{6}$ + k2π (k ∈ Z)

x = $\frac{5\pi }{6}$ + k2π = π - $\frac{\pi }{6}$ + k2π (k ∈ Z)

Công thức nghiệm

+ Với |m| > 1, phương trình vô nghiệm.

+ Với |m| ≤ 1, gọi α là số thực thuộc đoạn $\left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$ sao cho sinα = m.

Khi đó, ta có: sinx = m ⟺ sinx = sinα

⟺ x= α + k2π hoặc x = π - α + k2π   (k ∈ Z)

Chú ý

a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình sin x = m:

• sin x = 1 ⟺ x = $\frac{\pi }{2}$ + k2π (k ∈ Z);
• sin x = -1 ⟺ x = -$\frac{\pi }{2}$ + k2π (k ∈ Z);
• sin x = 0 ⟺ x = kπ (k ∈ Z) 

b) Ta có sin f(x) = sin g(x)

⟺ f(x) = g(x) + k2π  hoặc  f(x) = π - g(x) + k2π (k ∈ Z)

c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho sin x = sin a° như sau:

sin x = sin a° ⟺ x = a° + k360°    hoặc   x = 180° - a° + k360° (k ∈ Z) 

Ví dụ 3: (SGK – tr.34).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.34).

Luyện tập 3

a) $sinx=\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \left ( k\in \mathbb{Z} \right )$ hoặc $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \left ( k\in \mathbb{Z} \right )$

b) $sinx=sin55^{\circ} \Leftrightarrow x=55^{\circ}+k360^{\circ}$ hoặc $x=125^{\circ}+k360^{\circ} \left ( k\in \mathbb{Z} \right )$

Ví dụ 4: (SGK – tr.35).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.35).

Luyện tập 4

Ta có: $sin2x=sin(x+\frac{\pi }{4})$

$\Leftrightarrow 2x=x+\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $2x=\pi -(x+\frac{\pi }{4})+k2\pi \left ( k\in \mathbb{Z} \right )$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k2\pi }{3} \left ( k\in \mathbb{Z} \right )$

3. PHƯƠNG TRÌNH COS X = M

HĐ4

a) Với x ∈ [-π; π] ta thấy cos x = $\frac{1}{2}$ tại x = -$\frac{\pi }{3}$ và x = $\frac{\pi }{3}$.

Do đó đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = cos x , x ∈ [-π; π] tại hai giao điểm C$_{0}$, D$_{0}$ có hoành độ lần lượt là $x_{C_{0}}=-\frac{\pi }{3}$ và $x_{D_{0}}=\frac{\pi }{3}$.

b) Với x ∈ [π; 3π] ta thấy cos x = $\frac{1}{2}$ tại x = $\frac{5\pi }{3}$ và x = $\frac{7\pi }{3}$

Do đó đường thẳng d: y = $\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số y = cos x, x ∈ [π; 3π] tại  hai giao điểm C$_{1}$, D$_{1}$ có hoành độ lần lượt là $x_{C_{1}}=\frac{5\pi }{3}$ và $x_{D_{1}}=\frac{7\pi }{3}$

Nhận xét: Phương trình cos x = $\frac{1}{2}$ có các nghiệm là: 

• x = $\frac{\pi }{3}$+ k2π, (k ∈ Z) 
• x = -$\frac{\pi }{3}$ + k2π, (k ∈ Z) 

Công thức nghiệm

Với |m| > 1, phương trình vô nghiệm.

Với |m| ≤ 1, gọi α  là số thực thuộc đoạn [0;π] sao cho cosα = m. Khi đó, ta có:

cos x = m ⟺ cos x = cos α

⟺ x = α + k2π   hoặc   x = -α + k2π (k ∈ Z)

Chú ý

a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình cos x = m

• cos x = 1 ⟺ x = k2π, (k ∈ Z) 
• cos x = -1 ⟺ x = π + k2π, (k ∈ Z) 
• cos x = 0 ⟺ x=  2 + kπ, (k ∈ Z) 

b) Ta có cos f(x) = cos g(x)

⟺ f(x) = g(x) + k2π  hoặc  f(x) = -g(x) + k2π (k ∈ Z)

c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho cos x = cos a° như sau: 

cos x = cos a° ⟺ x = a° + k360° hoặc  x = -a° + k360° (k ∈ Z)

Ví dụ 5: (SGK – tr,36).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.36).

Luyện tập 5

a) $cosx=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=\pm\frac{2\pi }{3}+k2\pi \left ( k\in \mathbb{Z} \right )$.

b) $cosx=cos(-87^{\circ}) \Leftrightarrow x=\pm 87^{\circ}+k360^{\circ} \left ( k\in \mathbb{Z} \right )$.

Ví dụ 6: (SGK – tr.37).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.37).

Luyện tập 6

$550+450cos\frac{\pi }{50}t=1000 \Leftrightarrow cos\frac{\pi }{50}t=1 \Leftrightarrow t=100k \left ( k\in \mathbb{Z} \right )$

$550+450cos\frac{\pi }{50}t=250 \Leftrightarrow cos\frac{\pi }{50}t=-\frac{2}{3} \Leftrightarrow t\approx \pm $\frac{115}{\pi }$ + 100k \left ( k\in \mathbb{Z} \right )$

$550+450cos\frac{\pi }{50}t=100 \Leftrightarrow cos\frac{\pi }{50}t=-1 \Leftrightarrow t=50+100k \left ( k\in \mathbb{Z} \right )$

4. PHƯƠNG TRÌNH TAN X = M

HĐ5

a) Với x ∈ $\left (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}  \right )$ ta thấy tan x = 1 tại x = $\frac{\pi }{4}$.

Do đó đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tan x trên khoảng $\left (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}  \right )$ tại điểm có hoành độ là $\frac{\pi }{4}$.

Do hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì là π nên đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tan x tại các điểm có hoành độ là x = $\frac{\pi }{4}$ + kπ, (k ∈ Z).

b) Phương trình tan x =1 có các nghiệm là:

x = $\frac{\pi }{4}$+ kπ, (k ∈ Z).

Công thức nghiệm: Gọi α là số thực thuộc khoảng $\left (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}  \right )$ sao cho tanα = m. Khi đó với mọi m ∈ R, ta có:

tan x = m ⟺ tan x = tan α ⟺ x = α + kπ (k ∈ Z).

Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho tan x = tan α° như sau:

tan x = tan α° ⟺ x = α° + k180°, k ∈ Z 

Ví dụ 7: (SGK – tr.37)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.38).

Luyện tập 7

a) Điều kiện x ≠ $\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ Z

tan x = 0 ⟺ x = kπ, k ∈ Z. 

b) $tanx=tan67^{\circ}\Leftrightarrow x=67^{\circ}+k180^{\circ} \left ( k\in \mathbb{Z} \right )$.

Vậy các góc lượng giác x cần tìm là $x=67^{\circ}+k180^{\circ}$, (k ∈ Z).

5. PHƯƠNG TRÌNH COT X = M

HĐ6

a) Với x ∈ (0; π), ta thấy cot x = -1 tại x = $\frac{3\pi }{4}$

Do đó đường thẳng y = -1 cắt đồ thị hàm số y = cot x trên khoảng (0; π) tại điểm có hoành độ là $\frac{3\pi }{4}$.

Do hàm số y = cot x  tuần hoàn với chu kì là π nên đường thẳng y = ‒1 cắt đồ thị hàm số y = cot x tại các điểm có hoành độ là x = $\frac{3\pi }{4}$ + kπ, (k ∈ Z).

b) Phương trình cot x = -1 có các nghiệm là x = $\frac{3\pi }{4}$ + kπ, (k ∈ Z).

Công thức nghiệm: Gọi α  là số thực thuộc khoảng (0; π) sao cho cot α  = m. Khi đó với mọi m ∈ R, ta có:

cot x = m ⟺ cot x = cot α  ⟺ x = α + kπ (k ∈ Z) 

Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho: 

cot x = cot a° ⟺ x = a° + k180°, (k ∈ Z) 

Ví dụ 8: (SGK – tr.38).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.38).

Luyện tập 8

a) $cotx=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left ( k\in \mathbb{Z} \right )$. 

b) $cotx=cot(-83^{\circ})\Leftrightarrow x=-83^{\circ}+k180^{\circ} \left ( k\in \mathbb{Z} \right )$. 

6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Ví dụ 9: (SGK – tr.39).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.39).

Luyện tập 9.

Sau khi chuyển máy tính sang chế độ “radian”.

a) Bấm liên tiếp 

Ta được kết quả gần đúng là 0,201.

Vậy phương trình sinx = 0,2 có các nghiệm là:

x ≈ 0,201 + k2π, k ∈ Z và x ≈ π - 0,201 + k2π, k ∈ Z.

b)  Bấm liên tiếp:

Ta được kết quả gần đúng là 1,772.

Vậy phương trình cos x = - $\frac{1}{5}$ có các nghiệm là: x ≈ ±1,772 + k2π, k ∈ Z.

c) Bấm liên tiếp:

Ta được kết quả gần đúng là 0,955.

Vậy phương trình tan x = $\sqrt{2}$ có các nghiệm là: x ≈ 0,955 + kπ, k ∈ Z.

Ví dụ 10: (SGK – tr.39).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.39).