1. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

HĐ 1: Nếu (P) và (Q) có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung. Các điểm chung đó cùng nằm trên một đường thẳng.

Nhận xét: Đối với hai mặt phẳng phân biệt P và Q trong không gian, có hai khả năng:

• Hai mặt phẳng P và Q có điểm chung. Khi đó chúng cắt nhau theo giao tuyến là một đường thẳng.
• Hai mặt phẳng P và Q không có điểm chung. Khi đó, ta nói chúng song song với nhau, kí hiệu (P) // (Q) (hoặc (Q) // P).

Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Luyện tập 1: Hình ảnh hai mặt phẳng song song như các mặt sàn của ngôi nhà nhiều tầng; các mặt bậc cầu thang; mặt bàn và nền nhà; …

Ví dụ 1 (SGK -tr.106)

2. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT

HĐ 2: Giả sử hai mặt phẳng (P) và (Q) có một điểm chung thì chúng có đường thẳng chung d.

Ta có:  a // (Q); a ⊂ (P); (P) ∩ (Q) = d.

Suy ra a // d.

Tương tự ta cũng có b // d.

Mà a, b, d cùng nằm trong mặt phẳng (P) nên a // b // d hoặc a trùng b, mâu thuẫn với giả thiết a, b cắt nhau trong (P).

Vậy hai mặt phẳng (P) và (Q) không có điểm chung hay (P) // (Q).

Định lí 1 (Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song): Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với Q.

Ví dụ 2 (SGK -tr.106)

Luyện tập 2.

Xét AMP có I, K lần lượt là trung điểm của AM, AP nên IK là đường trung bình

Do đó IK // MP.

Mà MP ⊂ (BCD) nên IK // (BCD).

Xét ∆ANP có J, K lần lượt là trung điểm của AN, AP nên JK là đường trung bình

Do đó JK // NP.

Mà NP ⊂ (BCD) nên JK // (BCD).

Ta có: IK // (BCD); JK // (BCD);

           IK ∩ JK = {K}; IK, JK ⊂ ((IJK)

Suy ra (IJK) // (BCD).

3. TÍNH CHẤT HAI MẶT PHẲNG SONG SONG. 

HĐ 3

a) Ta có: a // a’ mà a’ ⊂ (Q) nên a // (Q); b // b’ mà b’ ⊂ (Q) nên b // (Q).

Do a // (Q); b // (Q);

a, b cắt nhau tại M và cùng nằm trong mặt phẳng (P).

Suy ra (P) // (Q).

b) Ta có R và P cùng đi qua điểm M và song song với a' nên R và P cắt nhau theo giao tuyến đi qua M và song song với a'.

Giao tuyến đó là đường thẳng a, vậy a ⊂ R.

Tương tự chứng minh được b ⊂ R.

Vậy (P) trùng (R ) vì cùng chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau.

Định lí 2 (Tính chất về hai mặt phẳng song song): Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. 

Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì có duy nhất một mặt phẳng (P) chứa a và song song với mặt phẳng (Q).

Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

HĐ 4

a) (P) // (Q) và (R) ∩ (P) = a nên (R) // (Q) hoặc (R) cắt (Q).

Giả sử (R) // (Q).

Khi đó qua đường thẳng a có hai mặt phẳng song song với (Q) là mặt phẳng (P) và (R) nên hai mặt phẳng này trùng nhau, điều này mâu thuẫn với giả thiết (R) cắt (P).

Vậy (R) cắt Q.

b) Ta có: a ⊂ (P); b ⊂ (Q) mà (P) // (Q) nên a và b không có điểm chung.

Lại có hai đường thẳng a và b cùng nằm trên mp(R)

Do đó a // b.

Định lí 3: Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Nếu mặt phẳng R cắt mặt phẳng P thì cũng cắt mặt phẳng (Q) và hai giao tuyến của chúng song song với nhau.

Ví dụ 3 (SGK -tr.107)

Luyện tập 3

Giả sử (R) = (a, b).

Ta có: A, A' ∈ (R) và A, A' ∈ (P) 

Do đó (R) ∩ (P) = AA’.

Tương tự ta cũng có (R) ∩ (Q) = BB’.

Do (P) // (Q); (R) ∩ (P) = AA’; (R) ∩ (Q) = BB’

Suy ra AA’ // BB’

Trong mp(R), xét tứ giác ABB’A’ có: AA’ // BB’ và AB // A’B’ (do a // b)

Suy ra ABB’A’ là hình bình hành

Do đó AB = A’B’.

4. ĐỊNH LÍ THALES

HĐ 5

a) Ta có: B,B$_{1}$ ∈ ACC’ và B, B$_{1}$ ∈ (Q) 

Do đó (ACC’) ∩ (Q) = BB$_{1}$.

Tương tự, ta có (ACC’) ∩ (R) = CC’.

Ta có: (Q) // (R); (ACC’) ∩ (Q) = BB$_{1}$; (ACC’) ∩ (R) = CC’.

Suy ra BB$_{1}$ // CC’.

Chứng minh tương tự: B$_{1}$B’ // AA’.

b) Ta có: B$_{1}$ // CC' nên theo định lí Thalès

$\frac{AB}{AC}=\frac{AB_{1}}{AC'}\Rightarrow \frac{AB}{AB_{1}}=\frac{CA}{C'A}$

$\frac{BC}{AC}=\frac{B_{1}C'}{AC'}\Rightarrow \frac{BC}{B_{1}C'}=\frac{CA}{C'A}$

Do đó $\frac{AB}{AB_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C'}=\frac{CA}{C'A}$.

Ta có: B$_{1}$B' // AA' nên theo định lí Thalès

$\frac{AB_{1}}{AC'}=\frac{A'B'}{A'C'}\Rightarrow \frac{AB_{1}}{A'B'}=\frac{C'A}{C'A'}$

$\frac{B_{1}C'}{AC'}=\frac{B'C'}{A'C'}\Rightarrow \frac{B_{1}C'}{B'C'}=\frac{C'A}{C'A'}$

Do đó $\frac{AB_{1}}{A'B'}=\frac{B_{1}C'}{B'C'}=\frac{C'A}{C'A'}$.

c) Theo chứng minh ở câu b ta có:

$\frac{AB}{AC}=\frac{AB_{1}}{AC'}$ và $\frac{AB_{1}}{AC'}=\frac{A'B'}{A'C'}$ nên $\frac{AB}{AC}=\frac{A'B'}{A'C'}(=\frac{AB_{1}}{AC'}$)

Do đó $\frac{AB}{A'B'}=\frac{CA}{C'A'}$

$\frac{BC}{AC}=\frac{B_{1}C'}{AC'}$ và $\frac{B_{1}C'}{AC'}=\frac{B'C'}{A'C'}$ nên $\frac{BC}{AC}=\frac{B'C'}{A'C'}(=\frac{B_{1}C'}{AC'}$)

Do đó $\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}$

Vậy $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}$

Kết luận (Định lí Thalès): Nếu a. b là hai đường thẳng phân biệt cắt ba mặt phẳng song song P, Q, R lần lượt tại các điểm A, B, C và A', B', C' thì

$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}$

Ví dụ 4 (SGK -tr.109)

Luyện tập 4

Theo định lí Thalès, nếu a,b là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt tại các điểm A, B, C và A', B', C' thì $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}$.

Do đó $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$.

Theo bài, bạn Minh phát biểu rằng $\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}$

Mà do BC ≠ A'B' nên phát biểu của bạn Minh là sai.