BÀI 19. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Cho vectơ ≠ và điểm A. Tìm tập hợp những điểm M sao cho vuông góc với

Giải rút gọn:

Tập hợp những điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc với với giá của .

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng Δ đi qua điểm A(x_o;y_o) và có vectơ pháp tuyển (a;b). Chứng minh rằng điểm M(x; y) thuộc Δ khi và chỉ khi

a(x−x₀)+b(y−y₀)=0

Giải rút gọn:

M thuộc Δ ⬄ ⬄ = 0 ⬄ a(x−x₀)+b(y−y₀) = 0

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có ba đỉnh A(-1; 5), B(2; 3), C(6; 1). Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

Giải rút gọn:

Đường cao AH có vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A

=> phương trình tổng quát của AH là:

4.( x + 1) – 2.(y – 5) = 0 hay 4x – 2y + 14 = 0

Bài 4: Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ: y = 3x + 4.

Giải rút gọn:

=> vectơ pháp tuyến là = ( 3; -1)

2. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Trong Hình 7.2a, nếu một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc bằng và đi qua A thì nó di chuyển trên đường nào?

Giải rút gọn: 

Vật thể sẽ di chuyển trên đường thẳng .

Bài 2: Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng  Δ: 2x - y +1 = 0

Giải rút gọn:

vectơ pháp tuyến vectơ chỉ phương là

Bài 3: Chuyển động của một vật thể được thể hiện trên mặt phẳng Oxy. Vật thể khởi hành từ A(2; 1) và chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc (3;4).

a. Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?

b. Chứng minh rằng, tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là (2+3t; 1 +4t).

Giải rút gọn: 

a) Đường thẳng đi qua  điểm A(2;1) và có vectơ chỉ phương .

b) Giả sử vật thể ở vị trí =>   

=> x – 2 = 3t ; y – 1 = 4t

=> x = 2 + 3t ; y = 1 + 4t => M (2 + 3t ; 1 + 4t)

Bài 4 : Lập phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M(-1; 2) và song song với đường thẳng d: 3x - 4y -1 = 0.

Giải rút gọn:

Phương trình tham số của đường thẳng là: .

Bài 5 : Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A(x₁;y₁),B(x₂;y₂) cho trước.

Giải rút gọn:

=>

Phương trình tham số:     

Phương trình tổng quát : 

Bài 6 : Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C và đơn vị độ F được xác định bởi hai mốc sau:

• Nước đóng băng ở 0^oC, 32^oF;

• Nước sôi ở 100^oC, 212^oF.

Trong quy đổi đó, nếu a^oC tương ứng với b^oF thì trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và B(100; 212).

Hỏi 0^oF, 100^oF tương ứng với bao nhiêu độ C?

Giải rút gọn:

Phương trình đường thẳng AB là:

=> = -18⁰C

=> = 38⁰C

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 7.1: Trong mặt phẳng tọa độ cho = (2;1),= (3;2),A(1;3),B(−2;1)

a. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng Δ₁ đi qua A và có vectơ pháp tuyến .

b. Lập phương trình tham số của đường thẳng Δ₂ đi qua B và có vectơ chỉ phương .

c. Lập phương trình tham số của đường thẳng AB.

Giải rút gọn:

a)

b)

c)

    Phương trình tham số là: 

Bài 7.2: Lập phương trình tổng quát của các trục tọa độ

Giải rút gọn:

+ Trục Ox đi qua O(0;0) và vectơ pháp tuyến

                        0.( x – 0) + 1. ( y – 0) = 0 ⬄ y = 0

+ Trục Oy đi qua O (0;0) và vectơ pháp tuyến :

                        1.( x- 0) + 0. ( y – 0) = 0 ⬄ x = 0

Bài 7.3: Cho hai đường thẳng và Δ₂ : 2x + 3y - 5 = 0.

a. Lập phương trình tổng quát của Δ1

b. Lập phương trình tham số của Δ2

Giải rút gọn:

a)

Phương trình tổng quát : 5.(x – 1) – 2. ( y – 3) = 0 ⬄ 5x – 2y + 1 = 0

b)

Phương trình tham số là:    

Bài 7.4: Trong mặt phẳng tọa độ, cho ΔABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(-2; -1).

a. Lập phương trình đường cao kẻ từ A.

b. Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.

Giải rút gọn:

a)

Phương trình tổng quát đường cao AH : -5.(x- 1) – 1.(y –2) = 0 ⬄ 5x + y – 7 = 0

b) Gọi M là trung điểm AC 

Phương trình tham số của trung tuyến BM là :

Bài 7.5: (Phương trình đoạn chắn của đường thẳng)

Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) với ab ≠ 0 có phương trình là : 

Giải rút gọn:

Gọi d là đường thẳng qua 2 điểm A và B =>

Phương trình đường thẳng d là :

Bài 7.6: Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ 21,2^o Bắc, kinh độ 105,8^o Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ 16,1^o Bắc, kinh độ 108,2^o Đông. Một máy bay, bay từ Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm t giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ x^o Bắc, kinh độ y^o Đông được tính theo công thức :

a. Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?

b. Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17^o Bắc) chưa?

Giải rút gọn:

a) ( giờ) 

b) t=1 => (vĩ độ Bắc) => chưa qua vĩ tuyến 17