BÀI 21. ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C), tâm I(a; b), bán kính R. Khi đó, một điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn điều kiện đại số nào?

Giải rút gọn:

⬄  

Bài 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C): (x + 2)² +(y - 4)² = 7.

Giải rút gọn:

Tâm I(-2; 4);  bán kính R =

Bài 3: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.

a. x² + y² - 2x + 4y - 1 = 0                                      b. x² + y² - 2x + 4y + 6 = 0

c. x² + y² + 6x - 4y  + 2 = 0

Giải rút gọn:

a) Tâm I(1;-2) ; bán kính

b) a² + b² – c = ( -1)² + 2² – 6 = -1 < 0 => không là phương trình đường tròn.

c) Tâm I(-3;2) ; bán kính

Bài 4: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm M(4; -5), N(2; -1), P(3; -8).

Giải rút gọn:

Gọi tâm của đường tròn là I ( x; y)

IM² = ( x – 4)² + ( y + 5)² ; IN² = ( x – 2)² + ( y + 1)² ; IP² = ( x – 3)² + ( y + 8)²

IM = IN = IP => IM² = IN² = IP²

=> ( x – 4)² + ( y + 5)² = ( x – 2)² + ( y + 1)²

      ( x – 2)² + ( y + 1)² = ( x – 3)² + ( y + 8)²

=> -4x + 8 = -36 ; 2x – 14y = 68

=> x = -1 ; y = -5 => I ( -1; -5)

R = = 5

Phương trình đường tròn : ( x + 1)² + ( y + 5)² = 25

Bài 5 : Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bể sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục để tổng chu vi của ba bể là 32 m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy π=3,14, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.

Giải rút gọn: 

Gọi x, y là bán kính bể hình tròn và bể nửa hình tròn.(m)

Ta có : 2.3,14.x + (3,14.y+2y).2 = 32 ⬄ 1,57x + 2,57y – 8 = 0 ( Δ)

Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S(m²) =>

 => => Bán kính của bể nhỏ nhất là R = 2,66 m

2. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1: Cho đường tròn (C): (x - 1)² + (y - 2)² = 25 và điểm M(4; -2).

a. Chứng minh điểm M(4; -2) thuộc đường tròn (C).

b. Xác định tâm và bán kính của (C).

c. Gọi Δ là tiếp tuyến của (C) tại M. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ. Từ đó, viết phương trình đường thẳng Δ.

Giải rút gọn: 

a) => M thuộc đường tròn (C).

b) Tâm , bán kính

c) 

Phương trình tổng quát của là: 3.( x- 4) – 4(y + 2 ) = 0 hay 3x – 4y – 20 = 0

Bài 2: Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại điểm N(1; 0).

Giải rút gọn:

=> N thuộc (C).

Tâm ) => vectơ pháp tuyến là  

Phương trình tiếp tuyến là: hay

Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, một vật chuyển động nhanh trên đường tròn có phương trình x² + y² =25.Khi tới vị trí M(3;4) thì vật bị văng khỏi quỹ đạo tròn và ngay sau đó, trong một khoảng thời gian ngắn bay theo hướng tiếp tuyến của đường tròn. Hỏi trong khoảng thời gian ngắn ngay sau khi văng, vật chuyển động trên đường thẳng nào ?

Giải rút gọn: 

d đi qua điểm M và  có vectơ pháp tuyến là   

Phương trình của d là:

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 7.13: Tìm tâm và tính bán kính của đường tròn: (x + 3)² + (y - 3)² = 36

Giải rút gọn:

Tâm , bán kính

Bài 7.14: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.

a. x² + y² + xy + 4x - 2 = 0                                      b. x² + y² – 2x – 4y + 5 = 0

c. x² + y² + 6x - 8y + 1 = 0

Giải rút gọn:

a) Không phải là phương trình đường tròn do không đúng với dạng tổng quát.

b) 1² + 2² – 5 = 0 => không là phương trình đường tròn

c) Tâm và bán kính

Bài 7.15: Viết phương trình của đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:

a. Có tâm I(-2; 5) và bán kính R = 7.

b. Có tâm I(1; -2) và đi qua điểm A(-2; 2)

c. Có đường kính AB, với A(-1; -3), B(-3; 5)

d. Có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng x + 2y + 3 = 0.

Giải rút gọn:

a)

b) =>

c) Tâm I là trung điểm AB => I ( -2; 1) 

=> (C) :

d) => 

Bài 7.16: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC với A(6; -2), B(4; 2), C(5; -5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Giải rút gọn:

Gọi I (x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp 

IA² = ( x – 6)² + ( y + 2)² ; IB² = ( x – 4)² + ( y -2)² ; IC² = ( x – 5)² + ( y + 5)²

IA = IB = IC => IA² = IB² = IC²

=> ( x – 6)² + ( y + 2)² = ( x – 4)² + ( y -2)²

      ( x – 4)² + ( y -2)² = ( x – 5)² + ( y + 5)²

=> -4x + 8y = -20

     2x – 14y = 30

=> x = 1 ; y = -2 => tâm I (1 ; -2)

=> (C):

Bài 7.17: Cho đường tròn (C): x² + y² + 2x - 4y + 4 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2).

Giải rút gọn:

=> M thuộc đường tròn (C).

Tâm ) => vectơ pháp tuyến là  

Phương trình tiếp tuyến là: hay .

Bài 7.18: Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó, tại thời điểm t (0 ≤ t ≤ 180) vật thể ở vị trí có tọa độ (2 + sin t^o; 4 + cost^o).

a. Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.

b. Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Giải rút gọn:

a) => vị trí ban đầu là:

  => vị trí kết thúc là:

b) Gọi điểm thuộc vào quỹ đạo chuyển động của vật thể.

=>

=>

=>

Khi t thay đổi trên đoạn thì và .

Vậy quỹ đạo của vật thể (hay tập hợp điểm M) là nửa đường tròn đường kính AB vẽ trên nửa mặt phẳng chứa điểm , bờ AB.