BÀI 14.CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO ĐỘ PHÂN TÁN

1. KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ

Bài 1: Một cổ động viên của câu lạc bộ Everton, Anh đã thống kê điểm số mà hai câu lạc bộ Leicester City và Everton đạt được trong năm mùa giải Ngoại hạng Anh gần đây, từ mùa giải 2014 - 2015 đến mùa giải 2018 - 2019 như sau:

Leicester City:     41      81         44         47          52.

Everton         :      47      47         61         49          54.

Cổ động viên đó cho rằng, Everton thi đấu ổn định hơn Leicester City. Em có đồng ý với nhận định này không? Vì sao?

Giải rút gọn:

Leicester City có khoảng cách giữa điểm cao nhất và thấp nhất là 81 – 41 = 40

Everton có khoảng cách giữa điểm cao nhất và thấp nhất là  61 – 41 = 20

20 < 40 => Everton thi đấu ổn định hơn Leicester City => nhận định đúng.

Bài 2: Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) của các bạn trong tổ:

163     159        172         167            165              168           170            161

Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu này.

Giải rút gọn:

Khoảng biến thiên: 172 – 159 = 13. 

Bài 3: Trong một tuần, nhiệt độ cao nhất trong ngày (đơn vị ^oC) tại hai thành phố Hà Nội và Điện Biên được cho như sau:

Hà Nội:      23      25        28        28        32          33          35.

Điện Biên: 16      24        26        26        26           27          28.

a. Tính khoảng biến thiên của mỗi mẫu số liệu và so sánh.

b. Em có nhận xét gì về sự ảnh hưởng của giá trị 16 đến khoảng biến thiên của mẫu số liệu về nhiệt độ cao nhất trong ngày tại Điện Biên?

c. Tính các tứ phân vị và hiệu Q₃ - Q₁ cho mỗi mấu số liệu. Có thể dùng hiệu này để đo độ phân tán của mẫu số liệu không?

Giải rút gọn:

a. Khoảng biến thiên nhiệt độ ở Hà Nội là: R₁ = 35 – 23 = 12

    Khoảng biến thiên nhiệt độ ở Điện Biên là: R₂ = 28 – 16 = 12

    => R₁ = R₂

b. Giá trị 16 là giá trị bất thường => khoảng biến thiên bị ảnh hưởng

c. Hà Nội : Q₂ = 28; Q₁ = 25; Q₃ = 33 => Q₃ – Q₁ = 33 – 25 = 8

    Điện Biên : Q₃ – Q₁ = 33 – 25 = 8 => Q₃ – Q₁ = 27 – 24 = 3

    Có thể dùng số liệu này để đo độ phân tán của số liệu.

Bài 4: Mẫu số liệu sau đây cho biết số bài hát ở mỗi album trong bộ sưu tập của An:               12    7      10       9       12        9         10         11         10         14.

Hãy tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.

Giải rút gọn:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm: 7; 9; 9; 10; 10; 10; 11; 12; 12; 14.

Q₂ = 10; Q₁ = 9; Q₃ = 12 => Q₃ – Q₁ = 12 – 9 = 3

2. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN

Bài 1: Dùng đồng hồ đo thời gian có độ chia nhỏ nhất đến 0,001 giây để đo 7 lần thời gian rơi tự do của một vật bắt đầu từ điểm A (vA=0) đến điểm B. Kết quả đo như sau:            0,398         0,399        0,408         0,410       0,406       0,405          0,402.

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này. Qua các đại lượng này, em có nhận xét gì về độ chính xác của phép đo trên?

Giải rút gọn: 

Số trung bình là: 0,404

Phương sai:

=> độ lệch chuẩn

Vì độ lệch chuẩn và phương sai nhỏ nên độ chính xác cao

3. PHÁT HIỆN SỐ LIỆU BẤT THƯỜNG HOẶC KHÔNG CHÍNH XÁC BẰNG BIỂU ĐỒ HỘP

Bài 1: Một mẫu số liệu có tứ phân vị thứ nhất là 56 và tứ phân vị thứ ba là 84. Hãy kiểm tra xem trong hai giá trị 10 và 100 giá trị nào được xem là giá trị bất thường. 

Giải rút gọn:

ΔQ = Q₃ – Q₁ = 84 – 56 = 28

Q₁ – 1,5. ΔQ = 56 – 1,5.28 = 14

Q₃ + 1,5. ΔQ = 84 – 1,5.28 = 126

10 < 14 => 10 là giá trị bất thường

14 < 100 < 126 => 100 không là giá trị bất thường

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 5.11: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn.

2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại.

3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.

4) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.

5) Các số đo độ phân tán đều không âm.

Giải rút gọn:

Khẳng định đúng : 2 , 5

Khẳng định sai : 1, 3, 4

Bài 5.12: Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như sau:

Không tính hãy cho biết:

a. Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không?

b. Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?

Giải rút gọn:

a) Giá trị lớn nhất là 9, giá trị nhỏ nhất là 3=> 2 mẫu có cùng khoảng biến thiên.

    Mẫu A có xu hướng trung tâm là 6; mẫu B có các giá trị xung quanh 5, 6, 7 

    => 2 mẫu có cùng số trung bình

b) Mẫu A các giá trị từ 3 đến 9 => độ phân tán lớn hơn => phương sai lớn hơn

Bài 5.13: Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:

a. Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.

b. Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2. 

Giải rút gọn:

a. Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn đều gấp 2 lần 

b. Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn đều không đổi

Bài 5.14 : Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được: Giá trị nhỏ nhất bằng 2,4; Q₁ = 36;  Q₂ = 60; Q₃ =100; giá trị lớn nhất bằng 205.

a. Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là bao nhiêu?

b. Chỉ ra hai giá trị sao cho có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.

c. Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

Giải rút gọn:

a) Tứ trung vị Q₂ = 60 = x₂₆ ; Q₁ = 36 = x₁₃; Q₃ =100 = x₃₉

   Các giá trị > 36 là từ giá trị  x₁₄ đến x₅₁ ( 38 giá trị)

   => Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là: (38 : 51).100% = 74,5%.

b) Q₁  = x₁₃; Q₃  = x₃₉ => giữa chúng có ( 39 -13) : 1 + 1 = 27 ( giá trị)

    mà 27 : 51 = 53% => có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.

c) Khoảng tứ phân vị là: 100 – 36 = 64.

Bài 5.15: Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg):  

2,977          3,155          3,920         3,412           4,236

2,593          3,270         3,813         4,042           3,387

Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.

Giải rút gọn:

Khoảng biến thiên là: 4,236 – 2,593 = 1,643.

Q₁ = 3,155; Q₃ = 3,920 => khoảng tứ phân vị là 3,92 – 3,155 = 0,765.

Độ lệch tiêu chuẩn s 0,49.

Bài 5.16: Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) được cho như sau:

7,8       3,2        7,7         8,7          8,6           8,4           7,2          3,6

5,0       4,4       6,7          7,0           4,5           6,0          5,4.

Hãy tìm các giá trị bất thường nếu có của mẫu số liệu trên.

Giải rút gọn:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm : 3,2; 3,6; 4,4; 4,5; 5,0; 5,4; 6,0; 6,7; 7,0; 7,2; 7,7; 7,8; 8,4; 8,6; 8,7.

Q₂ = 6,7 ; Q₁ = 4,5 ; Q₃ = 7,8 =>  ΔQ=Q₃−Q₁ =7,8−4,5=3,3

Q₁ – 1,5Δ_Q = 4,5 – 4,95 = -0,45 

Q₃ + 1,5Δ_Q = 7,8 + 4,95 = 12,75 

=> mẫu số liệu đã cho không có giá trị nào bất thường.