BÀI 6.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1. ĐỊNH LÍ CÔSIN

Bài 1: Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp.

a. Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1 km trên thực tế ứng với 1 cm trên bản vẽ).

b. Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilomet (số đo gần đúng).

c. Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hương đông nam) thì có thể dụng Định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?

Giải rút gọn:

a.

b. AC = 28 cm => thực tế tàu cách cảng Vân Phong 28 km

c. Nếu tàu chuyển sang hướng nam thì góc B =90⁰ => có thể áp dụng định lí Pythagore (Pi-ta-go).

Bài 2: Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a theo b, c và giá trị lượng giác của góc A.

a. Tính a² theo BD² và CD² .

b. Tính a² theo b, c và DA.

c. Tính DA theo c và cos A.

d. Chứng minh a² = b² + c² - 2b.c.cos A.

Giải rút gọn:

a) ΔBDC:  a² = CD² + BD²

b) a² = CD² + BD² = ( b + DA)² + ( c² – DA²) = b² + 2.b.DA + c²

c) DA = cos . c = ( - cos A).c 

d) a² = b² + 2.b.DA + c² = b² + 2.b.(-cos A).c + c² = b² + c² - 2b.c.cos A

Bài 3: Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của Định lí Cosin hay không?

Giải rút gọn:

Khi tam giác vuông thì định lí Pythagore là một trường hợp đặc biệt của định lí cosin

Bài 4: Từ đinh lí cosin,hãy viết các công thức tính cos A, cos B, cos C theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC.        

Giải rút gọn:

; ;

Bài 5 : Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và  .Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác. 

Giải rút gọn: 

+) BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cos A = 5² + 8² -2.5.8.cos 45⁰ = 89 - 40

   => BC = .

+) => .

+) => .

Bài 6 : Dùng định lí cosin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ1b.

Giải rút gọn: 

+)

+) AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC.cos = 20² + 10² – 2.20.10.() 782,8

    => AC 28

2. ĐỊNH LÍ SIN

Bài 1: Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính R theo a và sin A.

Giải rút gọn: 

a) Δ vuông BMC:  

b) Δ vuông BMC: =>

Bài 2: Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và .Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài các cạnh còn lại của tam giác.

Giải rút gọn:

+)

+) =>

+)

+) => a = sin A. 2R .

3. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ

Bài 1 : Giải tam giác ABC, biết b = 32, c = 45,

Giải rút gọn:

+) a² = b² + c² -2.b.c.cos A = 32² +45² −2.32.45.cos87⁰ ⇒a ≈ 54

+) = => sin B = sin 54⁰ .32 : 54 = 0,59 => = 36⁰

+) = 180⁰ – 87⁰ – 36⁰ = 57⁰

Bài 2: Từ một khu vực có thể quan sát được hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.

Giải rút gọn:

+) Ngắm 2 đỉnh núi, đo góc giữa 2 hướng ngắm

+) Tính khoảng cách từ vị trí ngắm tới các đỉnh núi

+) Tính khoảng cách 2 đỉnh núi ( định lí cosin)

4. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Bài 1: Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

a. Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.

b. Tính diện tích tam giác ABC theo r, a, b, c.

Giải rút gọn:

a) S_ABC = S_IBC + S_ICA + S_IAB

b)

Bài 2 : Cho tam giác ABC với đường cao BD.

a. Biểu thị BD theo AB và sin A.

b. Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A.

Giải rút gọn:

a) BD = sin A . AB

b)

Bài 3 : Tính diện tích của tam giác ABC có b = 2,

Giải rút gọn:

+)

+) = 180⁰ – 30⁰ – 45⁰ = 105⁰

+)

Bài 4 : Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính được theo độ dài các cạnh của tam giác ABC hay không?

Giải rút gọn:

+) mà + = 1

+)

Bài 5 : Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như hình 3.17. Dùng chế độ tính khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên Hòa Bình.

Giải rút gọn:

+) ΔABE có p = (401 + 476 + 256) : 2 = 566,5 (m)

  S = 51328 (m²)

+) ΔDBE có p = ( 538 + 217 + 476) : 2 = 615,5 (m)

   S = 51495 (m²)

+) ΔCDB có p = ( 441 + 575 + 538) : 2 = 777 (m)

      S = 112268 (m²)

=> Diện tích công viên = 51328 + 51495 + 112268 = 215091 (m²)

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 3.5:  Cho tam giác ABC có a = 6, b = 5, c = 8. Tính cos A, S, r.

Giải rút gọn:

+)

+)

+)

Bài 3.6: Cho tam giác ABC có a = 10,  .Tính R, b, c.

Giải rút gọn:

+) = 180⁰ – 45⁰ – 70⁰ = 65⁰ =>

+) =

+)

Bài 3.7: Giải tam giác ABC và tính diện tích của tam giác đó, biết ,c = 6.

Giải rút gọn:

+) 180⁰ – 15⁰ – 130⁰ = 35⁰

+) ; 

+) S =  . 2,71.6.sin 130⁰ 6,22

Bài 3.8: Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S70^oE với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.

a. Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

b. Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

Giải rút gọn:

AB = 70.1,5 = 105 (km) ; BC = 8.2 = 16 (km) ;

a) AC² = 105² + 16² – 2.105.16.cos 110⁰ 12430 => AC 111,5 (km)

b) BC // SA =>

=>

Vậy hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là S62⁰E

Bài 3.9 : Trên nóc một tòa nhà có một ăng-ten cao 5m. Từ một vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là 50^o và 40^o so với phương nằm ngang.

a. Tính các góc của tam giác ABC.

b. Tính chiều cao của tòa nhà.

Giải rút gọn:

a) AH ⊥ BC

+) ; ; 

b)

  Chiều cao tòa nhà = CD = 7 + 11,9 = 18,9 (m)

Bài 3.10: Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).

Giải rút gọn:

+) Trên bờ đặt cọc tại 3 vị trí A, B, C . Đo AB, AC

+) Đứng tại A ngắm điểm C, D để tạo ra góc

    Đứng tại C ngắm điểm D, A để tạo ra góc

    => Tính được AD ( định lí sin)

+) Đứng tại A ngắm điểm B, E để tạo ra góc

    Đứng tại B ngắm điểm E, A để tạo ra góc

    => Tính được AE ( định lí sin)

+) Tính DE (định lí cosin trong ΔADE)

Bài 3.11: Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định là đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilomet so với đường cũ?

Giải rút gọn:

+) ΔABC có AC² = 6² + 8² – 2.6.8.cos 105⁰ 124,856 => AC 11,17 (km)

+) sin = =>

+) = 135⁰ – 44⁰ = 91⁰

+) ΔADC có :  AD² = 12² + 11,17² – 2.12.11,17.cos 91⁰ 273,527 

=> AD 16,53 (km)

Đường mới sẽ giảm so với đường cũ : ( 8 + 6 + 12) – 16,53 = 9,47 (km)