BÀI 10. VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ

Bài 1: Trên trục số Ox, gọi A là điểm biểu diến số 1 và đặt .  (H4.32a). Gọi M là điểm biểu diễn số 4, N là điểm biểu diễn số Hãy biểu thị mỗi vectơ   và theo vecto .

Giải rút gọn:

+) A(1) , M (4) => cùng phương, cùng hướng với  ;

=> .

+) A (1), N ( => cùng phương, ngược hướng với  ;  

=> .

Bài 2: Trong Hình 4.33:

a. Hãy biểu thị mỗi vectơ  theo các vectơ

b. Hãy biểu thị vectơ theo các vectơ từ đó biểu thị vectơ theo các vectơ

Giải rút gọn:

a) .

b) => .

Bài 3: Tìm tọa độ của

Giải rút gọn:

2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho = (2; -3), = (4;1), = (8;-12).

a. Hãy biểu thị mỗi vectơ , , . theo các vectơ

b. Tìm tọa độ của các vectơ + ,

c. Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ , 

Giải rút gọn: 

a)

b) => .

     nên => .

c)  =

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(x_o; y_o). Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy.

a. Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị theo và tính độ dài của theo x_o.

b. Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị theo và tính độ dài của theo y_o.

c. Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của theo x_o; y_o.

d. Biểu thị theo các vectơ .

Giải rút gọn:

a) Điểm P biểu diễn số x_o ; .

b) Điểm Q biểu diễn số y_o ; .

c)

d) .

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(x; y) và N(x'; y').

a. Tìm tọa độ của các vectơ 

b. Biểu thị vectơ theo các vectơ và tìm tọa độ của

c. Tìm độ dài của vectơ

Giải rút gọn: 

a) , .

b) =>  .

c) .

Bài 4 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1). B(3; 3).

a. Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?

b. Tìm điểm M(x; y) để OABM là một hình bình hành.

Giải rút gọn:

a) Vì => không cùng phương với => O, A, B không thẳng hàng.

b) OABM là một hình bình hành ⬄

     ; 

     => M (1; 2)

Bài 5 : Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.

Giải rút gọn:

+) A(13,8; 108,3) ;  B(14,1; 106,3) =>  .

+) Gọi vị trí tâm bão lúc 9 giờ là M (x; y) =>

    =>  

   => 4.( x -13,8) = 3. 0,3

        4. ( y – 108,3) = 3.(-2)

  => x = 14,025 ; y = 106,8 => M (14,025; 106,8)

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 4.16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1; 3), N(4; 2).

a. Tính độ dài của các đoạn thẳng OM, ON, MN.

b. Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

Giải rút gọn:

a) .

b)  OM = MN => ΔOMN cân tại M 

      = => ΔOMN vuông tại M

 => ΔOMN vuông cân tại M.

Bài 4.17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ =3 = (4;−1) và các điểm M(-3; 6), N(3; -3).

a. Tìm mối liên hệ giữa các vectơ

b. Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c. Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.

Giải rút gọn:

a) ;  .

     = 3 => .

b) ;

 Vì => và không cùng phương => O, M, N không thẳng hàng.

c) OMNP là một hình bình hành ⬄ => P(6; -9) 

Bài 4.18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 3), B(2; 4), C(-3; 2).

a. Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

b. Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

c. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d. Tìm điểm D(x; y) để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD.

Giải rút gọn:

a) ;

   Vì => và không cùng phương => A, B, C không thẳng hàng hay A, B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác.

b) x_M = ; y_M = =>

c) x_G = ; y_M = => G( 0 ; 3)

d) Điểm O(0; 0) là trọng tâm ΔABD 

=> ( 1 + 2 + x ) : 3 = 0 ; ( 3 + 4 + y) : 3 = 0

=> x = -3 ; y = -7 => D ( -3 ; -7)

Bài 4.19: Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí A(1;2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ = (3;4). Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Giải rút gọn:

. Gọi vị trí của tàu sau 1,5 giờ là B(x; y)

=> x -1 = 1,5 .3 ; y -2 = 1,5.4 => x = 5,5 ; y = 8

Vậy vị trí của tàu sau 1,5 giờ là điểm B(5,5; 8).

Bài 4.20 : Trong Hình 4.38, quân mã đang ở vị trí có tọa độ (1;2). Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

Giải rút gọn:

Quân mã đi theo hình chữ L => có thể đến các vị trí ( 0 ; 0) ; (0 ; 4) ; ( 2 ;0) ; (2 ; 4) ; (3 ; 1) ; (3 ; 3)