BÀI 22.BA ĐƯỜNG CONIC

1. ELIP

Bài 1: Đính hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định F₁, F₂ tren một mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm F₁, F₂ ). Kéo căng sợi dây tại một điểm M bởi một đầu bút dạ (hoặc phấn). Di chuyển đầu bút dạ để nó vẽ trên mặt bàn một đường khép kín. 

a. Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh nào ở Hình 7.17?

b. Trong quá trinh đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ nó tới các vị trí F₁, F₂ có thay đổi không? Vì sao?

Giải rút gọn:

a) hình 7.17b.

b) không thay đổi vì nó luôn bằng độ dài dây.

Bài 2: Tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện a > c?

Giải rút gọn:

Δ có: > ⬄ 2a > 2c ⬄ a > c

 Bài 3: Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm. Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, thì sau khi va vào thành bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay không? Vì sao?

Giải rút gọn:

Gọi và là vị trí ban đầu của bi và vị trí của lỗ thu.

Quãng đường bi đi được là: = 2a ( không đổi )

=> Độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu không phụ thuộc vào đường đi của bi.

Bài 4: Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂ , tia Ox trùng tia OF₂ 

a. Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁, F₂

b. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi: 

Giải rút gọn:

a) O là trung điểm của ; => và

b) 

* Giả sử , chứng minh M thuộc elip (E). 

  nên MF₁ + MF₂ = 2a =>M thuộc (E).

* Giả sử M thuộc (E) , chứng minh:

M thuộc (E) => hay

Bài 5 : Cho elip có phương trình chính tắc . Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Giải rút gọn: 

=> tiêu cự là ; hai tiêu điểm là và  

Bài 6 : Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô thoáng trong Hình 7.22 là nửa nằm phía trên trục hoành của elip có phương trình .Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ của bản vẽ thiết kế ứng với 30 cm trên thực tế. Tính chiều cao h của ô thoáng tại điểm cách điểm chính giữa của đế ô thoáng 75 cm.

Giải rút gọn: 

75cm trên thực tế ứng với 2,5 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.

Gọi điểm M ; M thuộc (E) => =>

Chiều cao của ô thoáng là: 1,56.30 = 46,8 (cm)

2. HYPEBOL

Bài 1: Giả sử thiết bị tại F₂ nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại F₁ là 2 giây và vận tốc âm thanh là 343m/s.

a) Tìm mối quan hệ giữa các khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F₁,F_2.

b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh có liên quan đến bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn MF₁- MF₂= 686 (m) hay không ?

Giải rút gọn: 

a) Giả sử điểm M là nơi phát ra tín hiệu âm thanh.

    Gọi t₁, t₂  là thời gian âm thanh phát từ M đến F₁, F₂ => t₁ – t₂ = 2. 

    MF₁ – MF₂ = 343.t₁ – 343.t₂ = 343(t₁ – t₂) = 343. 2 = 686 (m). 

b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh chính là việc giải quyết bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn MF₁ – MF₂ = 686 (m). 

Bài 2: Tại sao trong định nghĩa hypebol cần điều kiện a < c?

Giải rút gọn:

Δ có: < ⬄ 2a < 2c ⬄ a < c

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD và M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

Giải rút gọn: 

MB // DN , MB = DN => MBND là hình bình hành => BN = MD

AM // CN , AM = CN => AMCN là hình bình hành => MC = AN

BMNC là hình chữ nhật => BN = MC

=> BN = MD = MC = AN

=> 

Vậy A,B,C,D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

Bài 4: Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂ , .Tia Ox trùng với tia OF₂.Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁,F₂. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (H) khi và chỉ khi

Giải rút gọn:

O là trung điểm của ; => và  

*Giả sử , chứng minh M thuộc (H). 

  => |MF₁ – MF₂ | = 2a => M thuộc (H).

*Giả sử M thuộc (H), chứng minh:  M thuộc elip (E) nên:

=>

Bài 5 : Cho (H):. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của (H).

Giải rút gọn:

c = =13 => tiêu điểm là F₁ ( -13; 0) ; F₂ (13;0) ; tiêu cự F₁F₂ = 26

3. PARABOL

Bài 1 : Cho parabol (P): y = . Xét F(0; 1) và đường thẳng Δ: y + 1 = 0. Với điểm M(x; y) bất kì, chứng minh rằng MF = d(M, Δ) ⇔ M(x; y) thuộc (P).

Giải rút gọn:

  ;

+)Giả sử M(x;y) thuộc (P), ta chứng minh

M thuộc hay  

Vậy

+) Giả sử , ta chứng minh M(x;y) thuộc (P)

=> M thuộc (P)

Bài 2: Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn Δ. Gọi p là tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu vuông góc của F trên Δ. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF (H.7.27)

a. Nêu tọa độ của F và phương trình của Δ

b. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi 

Giải rút gọn:

a) HF = p ; là trung điểm =>  .

Đường thẳng Δ  :

b) ;

+) Giả sử . Chứng minh M thuộc (P). 

      => M thuộc (P).

+) Giả sử M thuộc (P), chứng minh

  M thuộc

Bài 3: Tại một vùng biển giữa đất liền và một đảo, người ta phân định một đường ranh giới cách đều đất liền và đảo. Coi bờ biển vùng đất liền đó là một đường thẳng và đảo là hình tròn. Hỏi đường ranh giới nói trên có hình gì? Vì sao?

Giải rút gọn:

Gọi là đường bờ biển;  là đường thẳng nằm trên đất liền, // d, cách d một khoảng .

=> tập hợp các điểm thuộc đường parabol có tiêu điểm là , đường chuẩn là => đường ranh giới có hình parabol

4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BA ĐƯỜNG CONIC

Bài 1:  Gương elip trong một máy tán sỏi thận (H.7.33) ứng với elip có phương trình chính tắc  (theo đơn vị cm). Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán.

Giải rút gọn:

=> tiêu cự là .

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 7.19: Cho elip có phương trình . Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Giải rút gọn:

=> Tiêu cự ; tiêu điểm và  

Bài 7.20: Cho hypebol có phương trình: . Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

Giải rút gọn:

=> tiêu cự 2c = 8 ; tiêu điểm và

Bài 7.21: Cho parabol có phương trình: y² = 8x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

Giải rút gọn:

=> => Tiêu điểm và đường chuẩn .

Bài 7.22: Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(5; 0) và có một tiêu điểm là F₂(3; 0).

Giải rút gọn:

+) (E) đi qua A(5;0) =>

+) (E) đi qua (3;0) =>

=> Phương trình chính tắc của (E):

Bài 7.23: Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm M(2; 4).

Giải rút gọn:

đi qua nên ⇒ =>  .

Bài 7.24: Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s để một tàu thủy thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thủy thuộc đường hybebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.

Giải rút gọn:

O là trung điểm của AB => và

Vị trí tàu thủy là điểm M nằm trên hypebol có 2 tiêu điểm là A và B.

292000.0,0005 = 146 (km)

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng: với a, b > 0.

.

A và B là tiêu điểm => c = 150 => b =

=> Phương trình chính tắc là :

Bài 7.25 : Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là A, điểm cuối là B, khoảng cách AB = 400m. Đỉnh parabol (P) của khúc của cách đường thẳng AB một khoảng 20 m và cách đều A, B.

a. Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 m trên thực tế.

b. Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 km trên thực tế.

Giải rút gọn:

a) và thuộc vào parabol có dạng

=> => parabol : 

b) A(0,02; -0,2) và B(0,02; 0,2) thuộc vào parabol có dạng

=> => parabol :