BÀI 4.HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1: Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hòa loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Tính số tiền vốn mà cửa hàng phải bỏ ra để nhập hai loại máy điều hòa theo x và y.

a. Do nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên x và y cần thỏa mãn điều kiện gì?

b. Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên x và y phải thỏa mãn điều kiện gì?

c. Tính số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu được theo x và y.

Giải rút gọn:

Số tiền vốn mà cửa hàng phải bỏ ra là: 20x + 10y (triệu đồng).

a) x + y ≤ 100

b) 20x + 10y ≤ 1200

c) 3,5x + 2y

Bài 2: Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hòa loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Từ HĐ1, viết hệ phương trình hai ẩn x, y và chỉ ra một nghiệm của hệ này.

Giải rút gọn:

 (x; y) = (30; 20) là một nghiệm của hệ bất phương trình.

2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

Bài 1: Cho đường thẳng d: x + y = 150 trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đường thẳng này cắt hai trục tọa độ Ox và Oy tại hai điểm A và B.

a. Xác định các miền nghiệm D₁, D₂, D₃ của bất phương trình tương ứng x ≥ 0; y ≥ 0 và x+y ≤150.

b. Miền tam giác OAB có phải là giao của các miền D₁, D₂, D₃ hay không?

c. Lấy một điểm trong tam giác OAB và kiểm tra xem tọa độ của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không:

Giải rút gọn: 

a) + Miền nghiệm D₁  là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0).

    + Miền nghiệm D₂  là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0 ; 1).

    + Vẽ đường thẳng d: x + y = 150. Điểm O(0; 0) thỏa mãn 0 + 0 < 150.

      Miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ.

b)  Giao của các miền D₁, D₂, D₃  là miền ΔOAB

c) (1; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình.

Bài 2: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ:

Giải rút gọn:

+) Miền nghiệm của là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0)

+) Miền nghiệm của là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0; 1)

+) Vẽ đường thẳng d: x + y = 100.

    Miền nghiệm của là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm (0; 0) 

+) Vẽ đường thẳng d': 2x + y = 120.

  Miền nghiệm của là nửa mặt phẳng bờ d' chứa điểm (0; 0) 

3.ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1: Xét biểu thức F(x; y) = 2x + 3y với (x; y) thuộc miền tam giác OAB ở HĐ2. Tọa độ ba đỉnh là O(0; 0), A(150; 0) và B(0; 150).

a. Tính giá trị của biểu thức F(x; y) tại mỗi đỉnh O, A, B.

b. Nêu nhận xét về dấu của hoành độ x và tung độ y của điểm (x; y) nằm trong tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB.

c. Nêu nhận xét về tổng x + y của điểm (x; y) nằm trong miền tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB.

Giải rút gọn:

a) Điểm O(0; 0): F(0; 0) = 0

    Điểm A(150; 0): F(150; 0) = 300

    Điểm B(0; 150): F(0; 150) = 450

b) Các điểm nằm trong ΔOAB : x ≥ 0; y ≥ 0

    Giá trị nhỏ nhất của F(x; y) = 0 tại x = y = 0.

c)  0 ≤ x + y ≤ 150

    Giá trị lớn nhất của F(x; y) = 450 tại x = 0, y = 150.

Bài 2: Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc lần lượt 10 triệu đồng và 20 triệu động với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng. Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng mỗi máy. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y.

a. Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b. Gọi F (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c. Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Giải rút gọn:

Gọi x, y là số lượng máy tính loại A ,loại B cần nhập  (x,    N*)

Ta có hệ bất phương trình:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình :

b) F(x; y) = 2,5x + 4y.

c) F(0; 0) = 0, F(0; 200) = 800, F(100; 150) = 850, F(250; 0) = 625.

   => Giá trị lớn nhất của F(x ;y) là: F(100; 150) = 850.

Vậy cửa hàng cần nhập 100 máy loại A và 150 máy loại B.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 2.4: Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Giải rút gọn:

a ; d là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 2.5: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

Giải rút gọn:

a) +) Vẽ đường thẳng d : y – x = -1. Điểm O( 0;0) không thuộc d và 0 > -1

  => Miền nghiệm của y – x < -1 là nửa mặt phẳng bờ d ,không chứa điểm O(0;0)

   +) Trục Oy có phương trình và điểm thoả mãn . 

  => Miền nghiệm của là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm  

   +) Trục Ox có phương trình và điểm thoả mãn

  => Miền nghiệm của là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm  

b) +) Trục có phương trình và điểm thoả mãn . 

=> miền nghiệm của là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm  

+) Trục có phương trình và điểm thoả mãn . 

=> miền nghiệm của là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm  

+) Vẽ đường thẳng . Điểm không thuộc và 2.0 + 0 < 4

=> miền nghiệm của là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm

c) +) Trục có phương trình và điểm thoả mãn . 

=> miền nghiệm của là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm  

+) Vẽ đường thẳng . Điểm O(0;0) không thuộc và 0 + 0 < 5

=> miền nghiệm của là nửa mặt phẳng bờ không chứa điểm  

+) Vẽ đường thẳng . Điểm không thuộc d’ và 1 – 0 > 0

=> miền nghiệm của là nửa mặt phẳng bờ không chứa điểm  

Bài 2.6 : Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kilogam thịt bò và y kilogam thịt lợn.

a. Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b. Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilogam thịt bò và y kilogam thịt lợn. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c. Tìm số kilogam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.

Giải rút gọn:

a) Ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

Miền nghiệm của là miền tứ giác ABCD với A( 0,3; 1,1) ; B ( 0,6; 0,7); C( 1,6; 0,2) ; D( 1,6 ; 1,1)

b) F(x; y) = 250x + 160y (nghìn đồng).

c) F(0,3; 1,1) = 251, F(0,6; 0,7) = 262, F(1,6; 0,2) = 432, F(1,6; 1,1) = 576.

=> Giá trị nhỏ nhất là: F(0,3; 1,1) = 251.

=> để chi phí rẻ nhất thì mua 0,3 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn.