BÀI 25. NHỊ THỨC NEWTON

Bài 1: Hãy xây dựng sơ đồ hình cây của tích hai nhị thức (a+b).(c+d) như sau:

• Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi müi tên tương ứng với một đơn thức (gọi là nhãn của mũi tên) của nhị thức thứ nhất (H.8.6);

• Từ ngọn của mỗi mũi tên đã xây dựng, kẻ các mũi tên, mỗi müi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ hai;

• Tại ngọn của các mũi tên xây dựng tại bước sau cùng, ghi lại tích của các nhã̉n của các mũi tên đi từ điểm gốc đến đầu mút đó.

Hãy lấy tổng của các tích nhận được và so sánh kết quả với khai triển của tích (a+b).(c+d)

Giải rút gọn:

Tổng các tích nhận được: a.c + a.d + b.c + b.d

Khai triển  (a+b).(c+d) = a.(c +d) + b.(c +d) = a.c + a.d + b.c + b.d

Bài 2: Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (...) trong sơ đồ hình cây (H.8.7) của tích (a +b).(a +b).(a +b)

Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng a³, a²b, ab², b³?

Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển (a + b)³.

Giải rút gọn:

1 tích bằng a³, 3 tích bằng a²b, 3 tích bằng ab², 1 tích bằng b³

Khai triển : ( a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³                                                                                               

=> hệ số của các tích = hệ số khi khai triển

Bài 3: Hãy vẽ sơ đồ hình cây của khai triển (a + b)⁴ được mô tả như Hình 8.9. Sau khi khai triển, ta thu được một tổng gồm 2⁴ (theo quy tắc nhân) đơn thức có dạng x.y.z.t, trong đó mỗi x, y, z, t là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, y, t là a, còn z là b thì ta có đơn thức a.a.b.a, thu gọn là a³b. Để có đơn thức này, thì trong 4 nhân tử x, y, z, t có 1 nhân tử là b, 3 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với ³b trong tổng là . Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau:

• a⁴

• a³b

• a²b²

• ab³

• b⁴

Giải rút gọn:

=1 ( đơn thức a⁴ ) ; =4 ( đơn thức a³b) ; = 6 ( đơn thức a²b²);

= 4 ( đơn thức ab³) ; =1 ( đơn thức b⁴)

Bài 4: Khai triển (x - 2)⁴.

Giải rút gọn:

( x – 2)⁴ = x⁴ + 4x³.(-2) + 6.x².(-2)² + 4.x.(-2)³ + (-2)⁴

              = x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 16

Bài 5 : Khai triển (3x - 2)⁵

Giải rút gọn: 

(3x-2)⁵ = (3x)⁵ +5.(3x)⁴.(-2)+ 10.(3x)³.(-2)² + 10.(3x)².(-2)³ + 5.(3x).(-2)⁴ + (-2)⁵

           = 243x⁵ - 810x⁴ + 1080x³ - 720x² + 240x -32.

Bài 6 : 

a. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,05)⁴ để tính giá trị gần đúng của 1,05⁴.

b. Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,05⁴ và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Giải rút gọn:

a. (1 + 0,05)⁴ = 1⁴ + 4.1³.0,05 + 6.1².0,05² + 4.1.0,05³ + 0,05⁴.

    1,05⁴ 1⁴ + 4.1³.0,05 = 1,2

b. 1,05⁴ = 1,21550625 => Sai số tuyệt đối là: |1,21550625 – 1,2| = 0,01550625.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 8.12 : Khai triển các đa thức:

a. (x -3)⁴                                                        b. (3x - 2y)⁴

c. (x+5)⁴ + (x - 5)⁴                                        d. (x - 2y)⁵

Giải rút gọn:

a) x⁴ – 12x³ + 54x² – 108x + 81

b) 81x⁴ – 216x³y+ 216x²y² – 96xy³ + 16y⁴

c) 2x⁴ + 300x² + 1250

d) x⁵ -10x⁴y + 40x³y² - 80x²y³ +80xy⁴ + 32y⁵

Bài 8.13: Tìm hệ số của x⁴ trong khai triển của (3x -1)⁵

Giải rút gọn:

Hệ số của là : 5.3⁴.(-1) = -405

Bài 8.14: Biểu diễn dưới dạng với a, b là các số nguyên.

Giải rút gọn:

( 3 + )⁵ = 3⁵ + 5.3⁴. + 10.3³.()² + 10.3².()³+5.3.()⁴+ ()⁵

( 3 - )⁵ = 3⁵ - 5.3⁴. + 10.3³.()² - 10.3².()³+5.3.()⁴ - ()⁵

=> ( 3 + )⁵ - ( 3 – )⁵ = 810 + 360 + 8 = 1178

=> a = 0; b = 1178

Bài 8.15 : a. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,02)⁵ để tính giá trị gần đúng của 1,02⁵

b. Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,02⁵và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Giải rút gọn:

a) ( 1 + 0,02)⁵ = 1⁵ + 5.1⁴.0,02 + 10.1³.(0,02)²+… = 1 + 0,1 + … 1,1

b) 1,02⁵ = 1,104080803 => sai số tuyệt đối : |1,104080803 – 1,1| = 0,004080803

Bài 8.16 : Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là r%.

a. Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là (nghìn người).

b. Với r = 1,5%, dùng hai số hạng đầu trong khai triển của (1 + 0,015)⁵ hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).

Giải rút gọn:

a) Sau 1 năm số dân là: 800 + 800. = 800.( 1 + ) ( nghìn người)

   Sau 2 năm số dân là : 

      800.( 1 + ) + 800.( 1 + ). = 800.( 1 + )² ( nghìn người) 

=> Số dân sau 5 năm là : P = 800.( 1 + )⁵ ( nghìn người)

b) (1 + 0,015)⁵ = 1⁵ + 5.1⁴.0,015 + 10.1³.0,015² = 1 + 0,0075 +… 1,075

     Sau 5 năm số dân là : 800.1,075 = 860 ( nghìn người)