BÀI 20. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng

                Δ₁: x - 2y + 3 = 0,

                Δ₂: 3x - y - 1 = 0.

a. Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?

b. Giải hệ

c. Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của Δ₁ và Δ₂ với nghiệm của hệ phương trình trên.

Giải rút gọn:

a) Δ₁ : 1 – 2.2 + 3 = 0 =>

    Δ₂ : 3.1 – 2 -1  = 0 =>

b) => x = 1 ; y = 2

c) Toạ độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình trên.

Bài 2: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

Giải rút gọn:

a)  => và cắt nhau.

b)  => và //  hoặc ≡

      thuộc nhưng không thuộc => Δ₁  //  Δ₂

2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Hai đường thẳng Δ1 và Δ2 cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6.) Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?

Giải rút gọn: 

2 cặp góc đối đỉnh bằng nhau.

Bài 2: Cho hai đường thẳng cắt nhau Δ1 và Δ2 tương ứng có các vectơ pháp tuyến ,. Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:

a. Góc φ  và                                     b. cosφ và cos

Giải rút gọn:

a)                                   b) cosφ = cos

Bài 3: Tính góc giữa hai đường thẳng:    Δ₁: x + 3y + 2 = 0 và Δ₂: y = 3x + 1

Giải rút gọn: 

; . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng và .

Bài 4 : Tính góc giữa hai đường thẳng: 

Giải rút gọn:

; . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng và  

cos

Bài 5: Cho đường thẳng Δ: y = ax + b, với a ≠ 0.

a. Chứng minh rằng Δ cắt trục hoành.

b. Lập phương trình đường thẳng Δ0 đi qua O(0; 0) và // (hoặc ≡) với Δ.

c. Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa αΔ và αΔ0.

d. Gọi M là giao điểm của Δ0 với nửa đường tròn đơn vị và x₀ là hoành độ của M. Tính tung độ M theo  x₀ và a. Từ đó, chứng minh rằng tan αΔ=a.

Giải rút gọn:

a) luôn cắt Ox tại điểm

b) đi qua điểm O(0;0) =>  .

    với //  hoặc ≡ => =>

c) // Δ =>  

d)  thuộc =>  

     tan = tan = tan =

3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1 : Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến (a;b). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Δ

a. Chứng minh rằng:

b. Giả sử H có tọa độ (x₁; y₁). Chứng minh rằng:

c. Chứng minh rằng HM =

Giải rút gọn:

a) cùng phương với  

=>  

hoặc

b)

=> 

=>

c) =>

Bài 2 : Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ và giải thích vì sao kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4.

Giải rút gọn:

+) MH = 2 đơn vị độ dài.

+) Vì điểm M có tọa độ trùng với điểm M của ví dụ 4 ; đường thẳng Δ có phương trình trùng với phương trình trong ví dụ 4.

Bài 3 : Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng

Giải rút gọn:

Phương trình tổng quát của đường thẳng là :   

  hay   

Bài 4 : Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5m, CF = 6m.

a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1m thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.

b. Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không?

Giải rút gọn:

a)

  => vectơ pháp tuyến là: )

Phương trình tổng quát là: 3.( x – 5 ) + 5.( y – 12 ) = 0 hay 3x + 5y – 75 = 0

b) d(B, EF)= > 10,7 => lưỡi câu không rơi vào nơi nuôi vịt.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 7.7: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

Giải rút gọn:

a) = ;

⬄ ; Hệ có vô số nghiệm

b) ;

⬄ ; Hệ vô nghiệm

c) ; => x = ; y =

Hệ có 1 nghiệm duy nhất cắt nhau.

Bài 7.8: Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

Giải rút gọn:

a) ;  

cos

b) ; . 

cos

Bài 7.9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0 ;-2) và đường thẳng Δ: x + y - 4 = 0.

a. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ

b. Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(-1; 0) và song song với Δ.

c. Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(3; 0) và vuông góc với Δ.

Giải rút gọn:

a) =>

b)  

Phương trình đường thẳng là:  1. (x + 1 ) + 1 .( y – 0) = 0 ⬄ x + y + 1 = 0

c)  

Phương trình đường thẳng là: 1. ( x- 0) – 1.(y – 3) = 0 ⬄ x – y + 3 = 0

Bài 7.10: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A (1; 0), B (3; 2) và C (-2; 1).

a. Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b. Tính diện tích tam giác ABC.

Giải rút gọn:

a)

Phương trình đường thẳng BC là: 3.( x – 3) – 5.(y – 2) = 0 ⬄ 3x – 5y + 1 = 0

b) =>

Bài 7.11: Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b' (a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = -1.

Giải rút gọn:

;

⬄ a.a’ + (-1).(-1) = 0 ⬄ a.a’ = -1

Bài 7.12: Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Giải rút gọn:

Gọi J là vị trí âm thanh phát đi => J là giao của hai đường thẳng trung trực tương ứng của OA, OB.

Trung điểm OA là M ; trung điểm OB là N

Phương trình của là: 

Phương trình của là: