CHƯƠNG VII: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 20. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

HĐ1.

a) Thay x=1, y=2 vào phương trình đường thẳng ∆$_{1}$ ta được:

1-2.2+3=0 (đúng) ⇒Mϵ∆$_{1}$ 

Thay x=1, y=2 vào phương trình đường thẳng ∆$_{2}$ ta được:

3.1-2-1=0 (đúng) ⇒Mϵ∆$_{2}$ 

Vậy điểm M(1;2) thuộc cả hai đường thẳng trên.

b) $\left\{\begin{matrix}x-2y+3=0 & \\ 3x-y-1=0 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x-2y=-3 & \\ 3x-y=1 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x=1 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;2)

c) Toạ độ giao điểm của ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình trên.

Nhận xét: Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ là tập hợp những điểm có toạ độ thoả mãn phương trình của đường thẳng đó. Vì vậy, bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng được quy về bài toán giải hệ gồm hai phương trình tương ứng.

Kết luận:

Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng: ∆$_{1}$: a$_{1}$x+b$_{1}$y+c$_{1}$=0 và ∆$_{2}$: a$_{2}$x+b$_{2}$y+c$_{2}$=0

Khi đó toạ độ giao điểm của ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 & \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 & \end{matrix}\right.$    (*)

+ ∆$_{1}$ cắt  ∆$_{2}$ tại M(x0;y0) khi và chỉ khi hệ (*) có nghiệm duy nhất (x$_{0}$;y$_{0}$).

+ ∆$_{1}$ song song  ∆$_{2}$  khi và chỉ khi hệ (*) vô nghiệm.

+ ∆$_{1}$ trùng  ∆$_{2}$ khi và chỉ khi hệ (*) có vô số nghiệm.

Chú ý:

Dựa vào các vectơ chỉ phương $\underset{u_{1}}{\rightarrow}$, $\underset{u_{2}}{\rightarrow}$ hoặc các vectơ pháp tuyến $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$, $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$ của ∆$_{1}$, ∆$_{2}$, ta có: 

+ ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ song song hoặc trùng nhau $\underset{u_{1}}{\rightarrow}$ và $\underset{u_{2}}{\rightarrow}$ cùng phương $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$ và $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$ cùng phương.

+ ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ cắt nhau $\underset{u_{1}}{\rightarrow}$ và $\underset{u_{2}}{\rightarrow}$ không cùng phương $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$ và $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$ không cùng phương.

Ví dụ 1 (SGK – tr.37)

Nhận xét:

Giả sử hai đường thẳng ∆$_{1}$, ∆$_{2}$ có hai vectơ chỉ phương $\underset{u_{1}}{\rightarrow}$, $\underset{u_{2}}{\rightarrow}$ (hay hai vectơ pháp tuyến $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$, $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$) cùng phương. Khi đó: 

- Nếu ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ có điểm chung thì ∆$_{1}$ trùng ∆$_{2}$

- Nếu tồn tại điểm thuộc ∆$_{1}$ nhưng không thuộc ∆$_{2}$ thì ∆$_{1}$ song song với ∆$_{2}$.

Luyện tập 1:

a) Ta có: $\frac{1}{1} \neq \frac{4}{-4}$, do đó hai vectơ pháp tuyến không cùng phương.

Vậy hai đường thẳng ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ cắt nhau.

b) Ta có: $\frac{1}{2}$=$\frac{2}{4}$, do đó hai vectơ pháp tuyến cùng phương ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M($\sqrt{5}$;0) thuộc ∆$_{1}$ nhưng không thuộc ∆$_{2}$

Vậy hai đường thẳng ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ song song.

2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

HĐ2.

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành 2 cặp góc đối đỉnh bằng nhau.

Định nghĩa: 

- Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành 4 góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng.

- Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng 0°.

HĐ3.

a) $\widehat{\varphi }$=180°-($\underset{n_{1}}{\rightarrow}$, $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$)

b) cos $\varphi $=cos($\underset{n_{1}}{\rightarrow}$, $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$)

Kết luận:

Cho hai đường thẳng ∆$_{1}$: a$_{1}$x+b$_{1}$y+c$_{1}$=0 và ∆$_{2}$: a$_{2}$x+b$_{2}$y+c$_{2}$=0 với các vectơ pháp tuyến $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$(a$_{1}$; b$_{1}$) và $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$(a$_{2}$; b$_{2}$) tương ứng. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng đó được xác định thông qua công thức

cos $\varphi $ =|cos($\underset{n_{1}}{\rightarrow}$, $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$)|=$\frac{|\underset{n_{1}}{\rightarrow}.\underset{n_{2}}{\rightarrow}|}{|\underset{n_{1}}{\rightarrow}|.|\underset{n_{2}}{\rightarrow}|}$=$\frac{|a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}.\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$

Chú ý:

+ ∆$_{1} \perp $∆$_{2}$ <=> $\underset{n_{1}}{\rightarrow} \perp \underset{n_{1}}{\rightarrow}$

<=> a$_{1}$.a$_{2}$+b$_{1}$.b$_{2}$=0 

+ Nếu  ∆$_{1}$ ,∆$_{2}$ có các vectơ chỉ phương  $\underset{u_{1}}{\rightarrow}$ , $\underset{u_{2}}{\rightarrow}$ thì góc giữa ∆$_{1}$  và ∆$_{2}$ cũng được xác định thông qua công thức cos $\varphi $=|cos($\underset{u_{1}}{\rightarrow}$, $\underset{u_{2}}{\rightarrow}$)|

Ví dụ 2 (SGK – tr.38)

Luyện tập 2:

Ta có:

∆$_{1}$:x+3y+2=0⇒$\underset{n_{\Delta _{1}}}{\rightarrow}$=(1;3) 

∆$_{2}$:y=3x+1

∆$_{2}$:3x-y+1=0

$\underset{n_{\Delta _{2}}}{\rightarrow}$=(3;-1) 

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$. Ta có:

$\underset{n_{\Delta _{1}}}{\rightarrow}$.$\underset{n_{\Delta _{2}}}{\rightarrow}$=1.3+3.-1=0

$\underset{n_{\Delta _{1}}}{\rightarrow} \perp \underset{n_{\Delta _{2}}}{\rightarrow}$⇒φ=90°

Ví dụ 3 (SGK – tr.39)

Luyện tập 3

∆$_{1}$: $\left\{\begin{matrix}x=2+t & \\ y=1-2t & \end{matrix}\right.$

=>$\underset{u_{\Delta _{1}}}{\rightarrow}$=(1;-2)

∆$_{2}$: $\left\{\begin{matrix}x=1+t' & \\ y=5+3t' & \end{matrix}\right.$

=> $\underset{u_{\Delta _{2}}}{\rightarrow}$=(1;3)

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$. Ta có:

cos φ=$\frac{|1.1+(-2).3}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}.\sqrt{1^{2}+3^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇒φ=45°

Luyện tập 4

a) Cho y=0⇒x=-$\frac{b}{a}$

⇒∆ luôn cắt trục hoành tại điểm có toạ độ (-$\frac{b}{a}$;0)

b) Vì đường thẳng ∆$_{0}$ đi qua điểm O(0;0) nên có dạng: y=mx (m≠0).

Mà  ∆$_{0}$ song song hoặc trùng với ∆ nên m=a

Vậy đường thẳng ∆$_{0}$:y=ax

c) Do đường thẳng ∆$_{0}$ song song với Δ nên $\alpha _{\Delta }$=$\alpha _{\Delta 0}$ . (hai góc ở vị trí đồng vị).

d) Gọi tọa độ điểm M(x$_{0}$ ; y$_{0}$).

Do M thuộc ∆$_{0}$ nên y$_{0}$= a.x$_{0}$ 

Có tan$\alpha _{\Delta }$ =tan$\alpha _{\Delta 0}$=tan $\widehat{MOx}$=$\frac{y_{0}}{x_{0}}$ =$\alpha $ 

Vậy tan $\alpha _{\Delta }$=$\alpha $.

3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

HĐ4.

a)  Do $\underset{n}{\rightarrow}$ và HM có cùng phương nên

$\underset{n}{\rightarrow}$.$\underset{HM}{\rightarrow}$=|$\underset{n}{\rightarrow}$|.|$\underset{HM}{\rightarrow}$|.cos 0° =|$\underset{n}{\rightarrow}$|.|$\underset{HM}{\rightarrow}$| hoặc

$\underset{n}{\rightarrow}$.$\underset{HM}{\rightarrow}$=|$\underset{n}{\rightarrow}$|.|$\underset{HM}{\rightarrow}$|.cos 180° =-|$\underset{n}{\rightarrow}$|.|$\underset{HM}{\rightarrow}$|

=> |$\underset{n}{\rightarrow}$.$\underset{HM}{\rightarrow}$|=$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.HM

b) $\underset{HM}{\rightarrow}$=(x$_{0}$-x$_{1}$; y$_{0}$-y$_{1}$)

Ta có: $\underset{n}{\rightarrow}$.$\underset{HM}{\rightarrow}$=a(x$_{0}$-x$_{1}$)+b (y$_{0}$-y$_{1}$)=ax$_{0}$+by$_{0}$-ax$_{1}$-by$_{1}$)

Mà H(x$_{1}$; y$_{1}$)ϵ∆ nên ta có: -ax$_{1}$-by$_{1}$=c

Vậy $\underset{n}{\rightarrow}$.$\underset{HM}{\rightarrow}$=a(x$_{0}$-x$_{1}$)+b y$_{0}$-y$_{1}$)=ax$_{0}$+by$_{0}$+c

c) Từ câu a và câu b ta có: 

|$\underset{n}{\rightarrow}$.$\underset{HM}{\rightarrow}$|=$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.HM=|ax$_{0}$+by$_{0}$+c|

Suy ra HM=$\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Kết luận:

Cho điểm M(x$_{0}$; y$_{0}$) và đường thẳng ∆:ax+by+c=0. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, kí hiệu là d(M, ∆), được tính bởi công thức

d(M;∆)=$\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Ví dụ 4 (SGK – tr.40)

Trải nghiệm:

- Đo trực tiếp có: khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ là độ dài đoạn MH bằng 2 đơn vị độ dài.

- Kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4, vì đây điểm M có tọa độ trùng với điểm M của ví dụ 4 và đường thẳng Δ có phương trình trùng với phương trình trong ví dụ 4.

Luyện tập 5

∆: $\left\{\begin{matrix}x=5+3t & \\ y=-5-4t & \end{matrix}\right.$

=> $\underset{u_{\Delta }}{\rightarrow}$=(3;-4)⇒$\underset{n_{\Delta }}{\rightarrow}$=(4;3)

Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua A(5;-5) có vectơ pháp tuyến $\underset{n_{\Delta }}{\rightarrow}$=(4;3) là 

4(x-5)+3(y+5)=0

hay 4x+3y-5=0

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ M đến ∆ ta có:

d(M;∆)=$\frac{|4.1+3.2-5|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}$=1

Vậy khoảng cách từ M đến ∆ là 1.

Vận dụng

a) Tọa độ các điểm: A(0; 12),  B(0; 0),  C(15; 0),  D(15; 12),  E(5; 12),  F(15; 6)

Đường thẳng EF có vecto chỉ phương $\underset{EF}{\rightarrow}$=(10;-6)

Chọn vecto pháp tuyến là: $\underset{n}{\rightarrow}$ (3;5)

Phương trình tổng quát của đường thẳng EF là: 

3(x- 5)+5(y-12)=0 

hay 3x + 5y - 75 = 0.

b) Để lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt thì 10,7 phải lớn hơn khoảng cách từ B đến đường thẳng EF.

Áp dụng công thức khoảng cách từ B đến EF là:

d(B;EF)=$\frac{|3.0+5.0-75|}{\sqrt{3^{2}+5^{2}}}$≈12,9>10,7

Vậy lưỡi câu không thể rơi vào nơi nuôi vịt.