1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Hoạt động 1: Cho vecto $\overrightarrow{n}\neq \overrightarrow{0}$ và điểm A. Tìm tập hợp những điểm M sao cho $\overrightarrow{AM}$ vuông góc với $\overrightarrow{n}$.

Hướng dẫn giải:

M nằm trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với giá của vecto $\overrightarrow{n}$.

Hoạt động 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm A$(x_{o};y_{o})$ và có vecto pháp tuyển $\overrightarrow{n}(a;b)$. Chứng minh rằng điểm M(x; y) thuộc $\Delta $ khi và chỉ khi

$a(x-x_{o})+b(y-y_{o})=0$

Hướng dẫn giải:

• Giả sử M thuộc $\Delta $, ta chứng minh $a(x-x_{o})+b(y-y_{o})=0$

Thật vậy: Nếu M thuộc $\Delta $ thì $\overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{n}$

Có $\overrightarrow{AM}(x-x_{o}; y-y_{o})$

Suy ra: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$ 

$\Leftrightarrow $ $a(x-x_{o})+b(y-y_{o})=0$.

• Giả sử $a(x-x_{o})+b(y-y_{o})=0$, ta chứng minh M thuộc $\Delta $

Thật vậy: Nếu $a(x-x_{o})+b(y-y_{o})=0$ thì $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$ 

Suy ra M thuộc đường thẳng đi qua A và vuông góc với giá của vecto $\overrightarrow{n}$.

Vậy M thuộc $\Delta $.

Luyện tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có ba đỉnh A(-1; 5), B(2; 3), C(6; 1). Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC nhận vecto $\overrightarrow{BC}$ làm vecto pháp tuyến.

$\overrightarrow{BC}(4; -2)$

Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC có phương trình là:

4(x +1) - 2(y-5) = 0 hay 4x -2y +14 = 0.

Luyện tập 2: Hãy chỉ ra một vecto pháp tuyến của đường thẳng $\Delta $: y = 3x + 4.

Hướng dẫn giải:

Một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}(3; -1)$

2. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Hoạt động 3: Trong Hình 7.2a, nếu một vật thể chuyển động với vecto vận tốc bằng $\overrightarrow{v}$ và đi qua A thì nó di chuyển trên đường nào?

Hướng dẫn giải:

Di chuyển trên đường thẳng  $\Delta_{2} $

Luyện tập 3: Hãy chỉ ra một vecto chỉ phương của đường thẳng  $\Delta $: 2x - y +1 = 0

Hướng dẫn giải:

$\Delta $ có một vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}(2; -1)$

$\Rightarrow$ một vecto chỉ phương là: $\overrightarrow{u}(1; 2)$

Hoạt động 4: Chuyển động của một vật thể được thể hiện trên mặt phẳng Oxy. Vật thể khởi hành từ A(2; 1) và chuyển động thẳng đều với vecto vận tốc $\overrightarrow{v}(3; 4)$.

a. Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi qua và vecto chỉ phương của đường thẳng đó)?

b. Chứng minh rằng, tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là (2+3t; 1 +4t).

Hướng dẫn giải:

a. Vật chuyên động trên đường thẳng đi qua A và song song với giá của vecto $\overrightarrow{v}(3; 4)$. Hay đường thẳng qua A và có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{v}(3; 4)$.

b. Gọi tại thời điểm t vật ở điểm B(x; y).

Ta có: $\overrightarrow{AB} = t.\overrightarrow{v}$

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x-2=t.3\\ y-1=t.4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=2+3t\\ y=1+4t\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ tọa độ B((2+3t; 1 +4t) là vị trí của vật.

Luyện tập 4: Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm M(-1; 2) và song song với đường thẳng d: 3x - 4y -1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng $\Delta $ song song với d: 3x - 4y -1 = 0.

$\Rightarrow$ $\Delta $ có vecto pháp tuyển: $\overrightarrow{n}(3; -4)$

$\Rightarrow$ $\Delta $ có vecto chỉ phương: $\overrightarrow{u}(4; 3)$

Phương trình tham số của $\Delta $ là:

$\left\{\begin{matrix}x=-1+4t\\ y=2+3t\end{matrix}\right.$

Luyện tập 5: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt $A(x_{1}; y_{1}), B(x_{2}; y_{2})$ cho trước.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng có vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}(x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1})$

• Phương trình tham số của đường thẳng là:

$\left\{\begin{matrix}x=x_{1}+(x_{2}-x_{1})t\\ y=y_{1}+(y_{2}-y_{1})t\end{matrix}\right.$

• Đường thẳng có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}(y_{1}-y_{2};x_{2}-x_{1})$

Phương trình tổng quát của đường thẳng là:

$(y_{1}-y_{2})(x-x_{1}) + (x_{2}-x_{1})(y - y_{1})=0$

Vận dụng: Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C và đơn vị độ F được xác định bởi hai mốc sau:

• Nước đóng băng ở 0^oC, 32^oF;
• Nước sôi ở 100^oC, 212^oF.

Trong quy đổi đó, nếu a^oC tương ứng với b^oF thì trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và B(100; 212).

Hỏi 0^oF, 100^oF tương ứng với bao nhiêu độ C?

Hướng dẫn giải:

• Viết phương trình đường thẳng qua A và B.

Đường thẳng AB có vecto chỉ phương: $\overrightarrow{AB}(100; 180)$

$\Rightarrow$ chọn vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}(5; 9)$

Phương trình tham số của đường thẳng AB: 

$\left\{\begin{matrix}x=5t\\ y=32+9t\end{matrix}\right.$

• Nếu y = 0 thì x = $\frac{-160}{9}\approx -17, 78$
• Nếu y = 100 thì x = $\frac{340}{9}\approx 37, 78$

Vậy 0^oF, 100^oF lần lượt tương ứng với -17,78 và 37,78 độ C