BÀI 20.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

1.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

HĐ 1. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng

                Δ₁: x - 2y + 3 = 0,

                Δ₂: 3x - y - 1 = 0.

a. Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?

b. Giải hệ

c. Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của Δ₁ và Δ₂ với nghiệm của hệ phương trình trên.

Đáp án chuẩn:

a) thuộc cả hai đường thẳng trên.

b) Hệ phương trình có nghiệm

c) Toạ độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình trên.

Luyện tập 1. Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

Đáp án chuẩn:

a) và cắt nhau

b) và song song.

2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

HĐ 2. Hai đường thẳng Δ1 và Δ2 cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6.) Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?

Đáp án chuẩn: 

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành 2 cặp góc đối đỉnh bằng nhau.

HĐ 3. Cho hai đường thẳng cắt nhau Δ1 và Δ2 tương ứng có các vectơ pháp tuyến ,. Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:

a. Góc φ  và

b. cosφ và

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Luyện tập 2. Tính góc giữa hai đường thẳng:   Δ₁: x + 3y + 2 = 0 và Δ₂: y = 3x + 1

Đáp án chuẩn: 

Luyện tập 3. Tính góc giữa hai đường thẳng: 

Đáp án chuẩn:

Luyện tập 4. Cho đường thẳng Δ: y = ax + b, với a ≠ 0.

a. Chứng minh rằng Δ cắt trục hoành.

b. Lập phương trình đường thẳng Δ0 đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với Δ.

c. Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa αΔ và αΔ0.

d. Gọi M là giao điểm của Δ0 với nửa đường tròn đơn vị và x₀ là hoành độ của M. Tính tung độ M theo  x₀ và a. Từ đó, chứng minh rằng tanαΔ=a.

Đáp án chuẩn:

a) luôn cắt trục hoành tại điểm có toạ độ

b)

c)

d) Gọi tọa độ điểm  

Có => (đpcm)

3.KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

HĐ 4. Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến (a;b). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Δ

a. Chứng minh rằng:

b. Giả sử H có tọa độ (x₁; y₁). Chứng minh rằng:

c. Chứng minh rằng HM =

Đáp án chuẩn:

a)Có  

hoặc

b) 

Mà nên ta có:

Vậy

c) Có =>

Trải nghiệm. Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ và giải thích vì sao kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4.

Đáp án chuẩn:

Kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4, vì đây điểm M có tọa độ trùng với điểm M của ví dụ 4 và đường thẳng Δ có phương trình trùng với phương trình trong ví dụ 4.

Luyện tập 5. Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng

Đáp án chuẩn:

1

Vận dụng. Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5m, CF = 6m.

a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1m thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.

b. Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không?

Đáp án chuẩn:

a) .

b) Lưỡi câu không thể rơi vào nơi nuôi vịt.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 7.7: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c) cắt nhau

Bài 7.8: Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Bài 7.9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0 ;-2) và đường thẳng Δ: x + y - 4 = 0.

a. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ

b. Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(-1; 0) và song song với Δ.

c. Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(3; 0) và vuông góc với Δ.

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c)

Bài 7.10: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A (1; 0), B (3; 2) và C (-2; 1).

a. Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b. Tính diện tích tam giác ABC.

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Bài 7.11: Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b' (a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = -1.

Đáp án chuẩn:

;

Bài 7.12: Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Đáp án chuẩn: