BÀI 11.TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

HĐ 1. Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ  vàHãy tìm số đo các góc giữa và và

Đáp án chuẩn:

+ Số đo góc giữa hai vectơ và là

+ Số đo góc giữa hai vectơ và là

Câu hỏi.  Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng 0^o , bằng 180^o?

Đáp án chuẩn:

Góc giữa hai vectơ bằng khi hai vectơ cùng hướng.

Góc giữa hai vectơ bằng khi hai vectơ ngược hướng.

Luyện tập 1. Cho tam giác đều ABC. Tính

Đáp án chuẩn:

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Câu hỏi 2. Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ  là một số dương? Là một số âm?

Đáp án chuẩn: 

+ Tích vô hướng của hai vectơ là một số dương khi góc giữa hai vectơ là góc lớn hơn và nhỏ hơn .

+ Tích vô hướng của hai vectơ là một số âm khi góc giữa hai vectơ là góc lớn hơn và nhỏ hơn .

Câu hỏi 3. Khi nào thì

Đáp án chuẩn:

cùng phương

Luyện tập 2. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính  theo a, b,c.

Đáp án chuẩn: 

3.BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

HĐ 2. Cho hai vectơ cùng phương  =(x;y) và =(kx;ky). Hãy kiểm tra công thức =k(x² + y²) theo từng trường hợp sau:

a. =

b. ≠ và k ≥0

c.  ≠ và k <0.

Đáp án chuẩn:

a) = nên

=

Lại có:

Vậy .

b) Vì nên hai vectơ cùng hướng

Ta có: .

Vậy .

c) Vì nên hai vectơ ngược hướng

Ta có:

.

Vậy .

HĐ 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ không cùng  phương =(x;y) và =(x′;y′).

a. Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho

b. Tính AB², OA², OB² theo tọa độ của A và B.

c. Tính theo tọa độ của A, B.

Đáp án chuẩn:

a) A(x; y) và B(x'; y')

b) ;

c) Ta có:       

Luyện tập 3. Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ

Đáp án chuẩn:

HĐ 4. Cho ba vectơ ₁; y₁) , ₂; y₂), ₃; y₃)

a. Tính theo tọa độ của các vectơ

b. So sánh 

c. So sánh  và

Đáp án chuẩn:

a. = .

= = .

b. = .

c. =

Luyện tập 4. Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a. Chứng minh rằng

b. Tìm tọa độ của H.

c. Giải tam giác ABC.

Đáp án chuẩn:

a) Vì =>

b) H(6; 2)

c) ; ; ;

Vận dụng. Một lực không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực  được phân tích thành hai lực thành phần là  và . ( + .).

a. Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực và (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực và .

b. Giả sử các lực thành phần và . tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực và lực  

Đáp án chuẩn:

a) công sinh bởi lực bằng tổng của các công sinh bởi lực và

b) công sinh bởi lực bằng công sinh bởi lực

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 4.21 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:

a. = (−3;1), =(2;6)

b. =(3;1), =(2;4)

c. =(;1), =(2;).

Đáp án chuẩn:

a)

b) 

c)

Bài 4.22: Tìm điều kiện của , để:

a.

b.

Đáp án chuẩn:

a) vectơ và cùng hướng.

b) vectơ và ngược hướng.

Bài 4.23: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(-4; 3). Gọi M(t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a. Tính  theo t.

b. Tìm t để

Đáp án chuẩn:

a. = t² +3t + 2

b.  t = −2 và  t = −1. 

Bài 4.24: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-4; 1), B(2; 4), C(2; -2).

a. Giải tam giác ABC.

b. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Đáp án chuẩn:

a) AB = AC = 3 53⁰7’48’’ ,   63⁰26’6’’

b) H(

Bài 4.25: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

Đáp án chuẩn:

Có :

=> đpcm

Bài 4.26: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có: .

Đáp án chuẩn:

Xét

=

=

= (đpcm)