CHƯƠNG IV: VECTƠ

BÀI 11. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

HĐ1:

+ Số đo góc giữa hai vectơ $\underset{BC}{\rightarrow}$ và $\underset{BD}{\rightarrow}$ là số đo góc CBD và bằng 30$^{\circ}$.

+ Số đo góc giữa hai vectơ $\underset{DA}{\rightarrow}$ và $\underset{DB}{\rightarrow}$ là số đo góc ADB và bằng 50$^{\circ}$.

Kết luận:

Cho hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$ và $\underset{v}{\rightarrow}$ khác 0. Từ một điểm A tùy ý, vẽ các vectơ $\underset{AB}{\rightarrow}$=$\underset{u}{\rightarrow}$ và $\underset{AC}{\rightarrow}$=$\underset{v}{\rightarrow}$. Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$ và $\underset{v}{\rightarrow}$ hay đơn giản là góc giữa hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$ , $\underset{v}{\rightarrow}$, kí hiệu là ($\underset{u}{\rightarrow}$ , $\underset{v}{\rightarrow}$).

Chú ý:

+ Quy ước rằng góc giữa hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$ và $\underset{v}{\rightarrow}$ có thể nhận một giá trị tùy ý từ 0$^{\circ}$ đến 180$^{\circ}$.

+ Nếu ($\underset{u}{\rightarrow}$ , $\underset{v}{\rightarrow}$)= 90$^{\circ}$ thì ta nói rằng $\underset{u}{\rightarrow}$ và $\underset{v}{\rightarrow}$ vuông góc với nhau, kí hiệu là $\underset{u}{\rightarrow} \perp \underset{v}{\rightarrow}$ hoặc $\underset{v}{\rightarrow} \perp  \underset{u}{\rightarrow}$.

Đặc biệt, $\underset{0}{\rightarrow}$ được coi là vuông góc với mọi vectơ.

Câu hỏi:

Góc giữa hai vectơ bằng 0$^{\circ}$ khi hai vectơ cùng hướng.

Góc giữa hai vectơ bằng 180$^{\circ}$ khi hai vectơ ngược hướng.

Ví dụ 1 (SGK -tr66)

Luyện tập 1:

Vẽ $\underset{AD}{\rightarrow}$=$\underset{BC}{\rightarrow}$, khi đó ADBC là hình bình hành

($\underset{AB}{\rightarrow}$,$\underset{BC}{\rightarrow}$)=($\underset{AB}{\rightarrow}$,$\underset{AD}{\rightarrow}$)=$\widehat{BAD}$

Do AD//BC nên ta có:

$\widehat{BAD}$=180$^{\circ}$-$\widehat{ABD}$=180$^{\circ}$-60$^{\circ}$=120$^{\circ}$

Vậy ($\underset{AB}{\rightarrow}$,$\underset{BC}{\rightarrow}$)=120$^{\circ}$

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\underset{u}{\rightarrow}$ và $\underset{v}{\rightarrow}$ là một số, kí hiệu là $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$ được xác định bởi công thức sau:

$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=|$\underset{u}{\rightarrow}$|.|$\underset{v}{\rightarrow}$|.cos⁡($\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$).

Câu hỏi:

+ Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$ là một số dương khi góc giữa hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$ là góc lớn hơn 0$^{\circ}$ và nhỏ hơn 90$^{\circ}$.

+ Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$ là một số âm khi góc giữa hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$ là góc lớn hơn 90$^{\circ}$ và nhỏ hơn 180$^{\circ}$.

Chú ý:

+) $\underset{u}{\rightarrow} \perp \underset{v}{\rightarrow}$ <=> $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=0

+) $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{u}{\rightarrow}$ còn được viết là $\underset{u}{\rightarrow} ^{2}$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$. Ta có $\underset{u}{\rightarrow} ^{2}$=$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{u}{\rightarrow}$.cos 0$^{\circ}$ =$\underset{u}{\rightarrow} ^{2}$.

Câu hỏi:

($\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$)$^{2}$=(|$\underset{u}{\rightarrow}$|.|$\underset{v}{\rightarrow}$|.cos ( $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$))$^{2}$=$\underset{u}{\rightarrow} ^{2}$.$\underset{v}{\rightarrow} ^{2}$.( $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$)

Nên ($\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$)$^{2}$=$\underset{u}{\rightarrow} ^{2}$.$\underset{v}{\rightarrow} ^{2}$. thì cos ( $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$)=0, hay là $\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$ cùng phương.

Ví dụ 2 (SGK-tr67)

Luyện tập 2:

Theo định lí cô sin, ta có:

cos A =$\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

Từ đó:

$\underset{AB}{\rightarrow}$.$\underset{AC}{\rightarrow}$=|$\underset{AB}{\rightarrow}$|.|$\underset{AC}{\rightarrow}$|.cos ( $\underset{AB}{\rightarrow}$,$\underset{AC}{\rightarrow}$)

=c.b.cos A =bc.$\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$=b$\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$.

3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

HĐ2: 

a) $\underset{u}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$ nên $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=0

$\underset{u}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$ ⇒ {x=0 y=0

Lại có: k(x$^{2}$+y$^{2}$)=k(0$^{2}$+0$^{2}$)=0

Vậy $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=k(x$^{2}$+y$^{2}$).

b) Vì k≥0 nên hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$, $\underset{v}{\rightarrow}$ cùng hướng.

⇒($\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$)=0$^{\circ}$

Ta có:

$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=|$\underset{u}{\rightarrow}$|.|$\underset{v}{\rightarrow}$|.cos ($\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$)

=$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.$\sqrt{(kx)^{2}+(ky)^{2}}$.cos 0$^{\circ}$

=|k|(x$^{2}$+y$^{2}$)=k(x$^{2}$+y$^{2}$).

Vậy $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=k(x$^{2}$+y$^{2}$).

c) Vì k<0 nên hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$, v ngược hướng.

⇒($\underset{u}{\rightarrow}$,v)=180$^{\circ}$

Ta có:

$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=|$\underset{u}{\rightarrow}$|.|$\underset{v}{\rightarrow}$|.cos ($\underset{u}{\rightarrow}$,v)

=$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.$\sqrt{(kx)^{2}+(ky)^{2}}$.cos 180$^{\circ}$

=|k|(x$^{2}$+y$^{2}$)(-1)=k(x$^{2}$+y$^{2}$).

Vậy $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=k(x$^{2}$+y$^{2}$).

HĐ3:

a) Tọa độ các điểm là A(x; y) và B(x'; y')

b) 

AB$^{2}$=(x'-x)$^{2}$+(y'-y)$^{2}$

OA$^{2}$=x$^{2}$+y$^{2}$

OB$^{2}$=x'$^{2}$+y'$^{2}$

c) Ta có:

$\underset{OA}{\rightarrow}$.$\underset{OB}{\rightarrow}$=$\frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2}$=xx'+yy'

Kết luận:

Tích vô hướng của hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$=(x;y) và $\underset{v}{\rightarrow}$=x';y' được tính theo công thức:

$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$= xx'+yy'

Nhận xét:

+ Hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$ và $\underset{v}{\rightarrow}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi  xx'+yy'=0.

+ Bình phương vô hướng của $\underset{u}{\rightarrow}$=(x;y) là $\underset{u}{\rightarrow}^{2}$=x$^{2}$+y$^{2}$.

+ Nếu  $\underset{u}{\rightarrow}$≠0 và $\underset{v}{\rightarrow}$≠0 thì

cos ($\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$)=$\frac{\underset{u}{\rightarrow}.\underset{v}{\rightarrow}}{|\underset{u}{\rightarrow}|.|\underset{v}{\rightarrow}|}$=$\frac{xx'+yy'}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}.\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}}$

Ví dụ 3 (SGK -tr68)

Luyện tập 3:

$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=0.$\sqrt{3}$+(-5).1=-5

cos ($\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$)=$\frac{0.\sqrt{3}+(-5).1}{\sqrt{0+5^{2}}.\sqrt{3+1}}$=-$\frac{1}{2}$

⇒($\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$)=120$^{\circ}$.

HĐ4:

a) 

($\underset{v}{\rightarrow}$+$\underset{w}{\rightarrow}$) = (x$_{2}$+x$_{3}$;y$_{2}$+y$_{3}$)

$\underset{u}{\rightarrow}$.($\underset{v}{\rightarrow}$+$\underset{w}{\rightarrow}$) = x$_{1}$.(x$_{2}$+x$_{3}$)+y$_{1}$.(y$_{2}$+y$_{3}$).

$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$+$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{w}{\rightarrow}$ = x$_{1}$.x$_{2}$+y$_{1}$.y$_{2}$+x$_{1}$.x$_{3}$+y$_{1}$.y$_{3}$= x$_{1}$.(x$_{2}$+x$_{3}$)+y$_{1}$.(y$_{2}$+y$_{3}$).

b.$\underset{u}{\rightarrow}$.($\underset{v}{\rightarrow}$+$\underset{w}{\rightarrow}$) =$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$+$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{w}{\rightarrow}$.

c. $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=x$_{1}$.x$_{2}$+y$_{1}$.y$_{2}$

$\underset{v}{\rightarrow}$.$\underset{u}{\rightarrow}$=x$_{2}$.x$_{1}$+y$_{2}$.y$_{1}$.

Suy ra: $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$ = $\underset{v}{\rightarrow}$.$\underset{u}{\rightarrow}$

Tính chất của tích vô hướng:

Với ba vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$,$\underset{w}{\rightarrow}$ bất kì và mọi số thực k, ta có:

• $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=$\underset{v}{\rightarrow}$.$\underset{u}{\rightarrow}$ (tính chất giao hoán)

• $\underset{u}{\rightarrow}$.($\underset{v}{\rightarrow}$+$\underset{w}{\rightarrow}$)=$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$+$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{w}{\rightarrow}$ (tính chất phân phối đối với phép cộng)

• (k$\underset{u}{\rightarrow}$).$\underset{v}{\rightarrow}$=k($\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$)=$\underset{u}{\rightarrow}$.(k$\underset{v}{\rightarrow}$)

Chú ý: Từ các tính chất trên, ta có thể chứng minh được

$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$-$\underset{w}{\rightarrow}$=$\underset{u}{\rightarrow}$.v-$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{w}{\rightarrow}$

($\underset{u}{\rightarrow}$+$\underset{v}{\rightarrow}$)$^{2}$=$\underset{u}{\rightarrow}^{2}$+2$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$+$\underset{v}{\rightarrow}^{2}$

($\underset{u}{\rightarrow}$-$\underset{v}{\rightarrow}$)$^{2}$=$\underset{u}{\rightarrow}^{2}$-2$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$+$\underset{v}{\rightarrow}^{2}$;

($\underset{u}{\rightarrow}$+$\underset{v}{\rightarrow}$).($\underset{u}{\rightarrow}$-$\underset{v}{\rightarrow}$)=$\underset{u}{\rightarrow}^{2}$-$\underset{v}{\rightarrow}^{2}$

Ví dụ 4 (SGK-tr69)

Luyện tập 4:

a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên 

AH⊥BC,BH⊥CA

Suy ra: $\underset{AB}{\rightarrow}$.$\underset{BC}{\rightarrow}$=0,$\underset{BH}{\rightarrow}$.$\underset{CA}{\rightarrow}$=0

b) Gọi tọa độ điểm H(x; y)

$\underset{AH}{\rightarrow}$(x+1;y-2)

$\underset{BC

$\underset{CA}{\rightarrow}$(-9;-6)

Ta có: AH⊥BC,BH⊥CA nên:

{(x+1).0+(y-2).9=0   (x-8).(-9)+(y+1).(-6)=0

{x=6 y=2

Vậy H(6; 2)

c) $\underset{AB}{\rightarrow}$(9;-3);$\underset{BC}{\rightarrow}$(0;9);$\underset{CA}{\rightarrow}$(-9;-6)

AB=$\sqrt{9^{2}+3^{2}}$=3$\sqrt{10}$

AC=$\sqrt{9^{2}+6^{2}}$=3$\sqrt{13}$

BC=$\sqrt{0^{2}+9^{2}}$=9

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC:

cosA=$\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2.OA.OB}$≈0,61

$\widehat{A}$≈52$^{\circ}$

Tương tự áp dụng định lí cô sin ta có:

cos B ≈0,32⇒$\widehat{B}$=71,6$^{\circ}$

$\widehat{C}$≈56,4$^{\circ}$

Vận dụng:

a) Công sinh bởi lực$\underset{F_{1}}{\rightarrow}$ bằng:$\underset{F_{1}}{\rightarrow}$.$\underset{AB}{\rightarrow}$ (1)

Công sinh bởi lực $\underset{F_{2}}{\rightarrow}$ bằng $\underset{F_{2}}{\rightarrow}$.$\underset{AB}{\rightarrow}$ (2)

Công sinh bởi lực $\underset{F}{\rightarrow}$ bằng: 

$\underset{F}{\rightarrow}$.$\underset{AB}{\rightarrow}$=($\underset{F_{1}}{\rightarrow}$+$\underset{F_{2}}{\rightarrow}$.).$\underset{AB}{\rightarrow}$ (3)

Từ (1), (2), (3) và theo tính chất phân phối đối với phép cộng của tích vô hướng suy ra công sinh bởi lực $\underset{F}{\rightarrow}$ bằng tổng của các công sinh bởi lực $\underset{F_{1}}{\rightarrow}$ và $\underset{F_{2}}{\rightarrow}$..

b) Vì $\underset{F_{2}}{\rightarrow}$. có phương vuông góc với phương chuyển động nên công sinh bởi lực $\underset{F_{2}}{\rightarrow}$. bằng $\underset{F_{2}}{\rightarrow}$..$\underset{AB}{\rightarrow}$=0. Từ đó và kết quả phần a), suy ra công sinh bởi lực $\underset{F}{\rightarrow}$ bằng:

$\underset{F_{1}}{\rightarrow}$.$\underset{AB}{\rightarrow}$+$\underset{F_{2}}{\rightarrow}$.$\underset{AB}{\rightarrow}$=$\underset{F_{1}}{\rightarrow}$.$\underset{AB}{\rightarrow}$

Do đó công sinh bởi lực $\underset{F}{\rightarrow}$ bằng công sinh bởi lực $\underset{F_{1}}{\rightarrow}$