BÀI 11.TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

Bài 1: Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ  vàHãy tìm số đo các góc giữa và và

Giải rút gọn:

+ Góc giữa và là =

+ Góc giữa và là =

Bài 2: Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng 0^o , bằng 180^o?

Giải rút gọn:

+ Khi 2 vectơ cùng hướng => góc giữa chúng =  

+ Khi 2 vectơ ngược hướng => góc giữa chúng =  

Bài 3: Cho tam giác đều ABC. Tính

Giải rút gọn:

Vẽ => ABC là hình bình hành

AD//BC =>

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Bài 1: Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ  là một số dương? Là một số âm?

Giải rút gọn: 

+) 0⁰ < ( ) < 90⁰ => > 0

+) 90⁰ < ( ) < 180⁰ => < 0

Bài 2: Khi nào thì

Giải rút gọn:

⬄ =>  cùng phương

Bài 3: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính  theo a, b,c.

Giải rút gọn: 

3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Bài 1 : Cho hai vectơ cùng phương  =(x;y) và =(kx;ky). Hãy kiểm tra công thức =k(x² + y²) theo từng trường hợp sau:

a. =                                  b. ≠ và k ≥ 0                             c.  ≠ và k <0.

Giải rút gọn:

a) = nên

    = => x = y = 0

=> .

b) => cùng hướng

.

c) => ngược hướng

.

Bài 2 : 

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ không cùng phương =(x;y) và =(x′;y′).

a. Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho

b. Tính AB², OA², OB² theo tọa độ của A và B.

c. Tính theo tọa độ của A, B.

Giải rút gọn:

a) A(x; y) ; B(x'; y')

b)

c) 

Bài 3 : Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ

Giải rút gọn:

; .

Bài 4 : Cho ba vectơ ₁; y₁) , ₂; y₂), ₃; y₃)

a. Tính  theo tọa độ của các vectơ

b. So sánh 

c. So sánh   và

Giải rút gọn:

a)  = ..

     = =

b) = .

c) = ;    = =>  =

Bài 5 : Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a. Chứng minh rằng

b. Tìm tọa độ của H.

c. Giải tam giác ABC.

Giải rút gọn:

a)  => 

b) H(x; y)

; ; ;

=> ( x + 1).0 + (y -2).9 = 0 => y = 2

 => ( x – 8). (-9) + ( y + 1).( -6) = 0 => x = 6

=> H(6; 2)

c) =>

    =>

    =>

Bài 6 : Một lực không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. . Lực  được phân tích thành hai lực thành phần là  và . ( + .).

a. Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực và (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực và .

b. Giả sử các lực thành phần và . tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực và lực  

Giải rút gọn:

a) Công sinh bởi lực bằng:   

    Công sinh bởi lực bằng: ; công sinh bởi lực bằng

=> Công sinh bởi lực bằng tổng của các công sinh bởi lực và .

b) => công sinh bởi lực bằng:  

 => Công sinh bởi lực và công sinh bởi lực bằng nhau.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 4.21 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:

a. = (−3;1),  =(2;6)

b. =(3;1), =(2;4)

c. =(;1), =(2;).

Giải rút gọn:

a) =>

b) ;

   =>  =>

c)  

    .

   => => .

Bài 4.22: Tìm điều kiện của , để:

a)                                                     b)

Giải rút gọn:

a) => cùng hướng với  

b) => ngược hướng với 

Bài 4.23: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(-4; 3). Gọi M(t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a. Tính  theo t.                                        b. Tìm t để

Giải rút gọn:

a. = (t−1;−2) ; = (t+4;−3) => =(t−1).(t+4)+2.3 = t² +3t + 2

b.  => ⬄ t² +3t + 2 = 0 ⬄  t = −1 ;  t = −2 

Bài 4.24: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-4; 1), B(2; 4), C(2; -2).

a. Giải tam giác ABC.

b. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Giải rút gọn:

a) =>

     =>

     =>

=> => = 63⁰26’6’’

 => 63⁰26’6’’

       => 53⁰7’48’’

b)

Gọi H(x; y) là trực tâm 

  => =>

  => =>

=> ;

Bài 4.25: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

Giải rút gọn:

=>

=>

Bài 4.26: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có: .

Giải rút gọn:

+) G là trọng tâm =>

+)

=

=