BÀI 17. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Bài 1: Hãy chỉ ra một vài đặc điểm chung của các biểu thức dưới đây:

A = 0,5x²             B = 1−x²          C = x²+x+1                   D = (1-x)(2x+1).

Giải rút gọn:

Các đa thức đều là đa thức biến x, bậc 2 , có dạng ax² + bx + c

Bài 2: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai      

Giải rút gọn:

C

Bài 3: Cho hàm số bậc hai y=f(x)=x²−4x+3.

a. Xác định hệ số a. Tính f(0), f(1), f(2), f(3), f(4) và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a.

b. Cho đồ thị hàm số y = f(x) (H.6.17). Xét trên từng khoảng (−∞;1),(1;3);(3;+∞), đồ thị nằm phía trên hay nằm phía dưới trục Ox?

c. Nhận xét về dấu của f(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Giải rút gọn:

a) a = 1 ; , , , , .

   Cùng dấu với a : f(0), f(4) ; Ngược dấu với a : f(2)

b) +) Đồ thị nằm phía trên Ox trong khoảng   

    +)  Đồ thị nằm phía dưới Ox trong khoảng ( 1; 3 )

+) Đồ thị nằm phía trên Ox trong khoảng  

c) +) f(x) cùng dấu với a trong khoảng ;

    +) f(x) ngược dấu với a trong khoảng (1; 3)

Bài 4: Cho đồ thị hàm số y=g(x)=−2x²+x+3 như Hình 6.18.

a. Xét trên từng khoảng (−∞;1);(−1;); (;+∞), đồ thị nằm phía trên trục Ox hay nằm phía dưới trục Ox?

b. Nhận xét về dấu của g(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Giải rút gọn:

a) Đồ thị hàm số nằm phía trên Ox trong khoảng

    Đồ thị hàm số nằm phía dưới Ox trong khoảng ;

b) g(x) cùng dấu với a trong khoảng ;

    g(x) trái dấu với a trong khoảng

Bài 5:Nêu nội dung thay vào ô có dấu ? trong bảng sau cho thích hợp:

• Trường hợp a > 0

• Trường hợp a < 0

Giải rút gọn: 

Bài 6 : Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

Giải rút gọn: 

a) a = -3 < 0 ;    => với mọi .

b) a = 1 > 0 ; => với mọi .

c) a = -2 < 0 ;  

   => f(x) > 0 với ; f(x) < 0 với .

2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bài 1: Trở lại tình huống mở đầu. Với yêu cầu mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 m², hãy viết bất đẳng thức thể hiện sự so sánh biểu thức tính diện tích S(x) = −2x²+20x với 48.

Giải rút gọn: 

-2x² + 20x ≥ 48

Bài 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a. −5x²+x−1 ≤ 0               b. x² -8x+16 ≤ 0               c. x²−x-6 > 0 

Giải rút gọn:

a) a = -5 < 0 ;   => < 0 với mọi => tập nghiệm

b) a = 1 > 0 ; => f(x) > 0 với mọi => nghiệm duy nhất x = 4

c) a = 1 > 0 ; => f(x) > 0 với x

Bài 3: Độ cao so với mặt đất của một quả bóng được ném lên theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm số bậc hai h(t) = −4,9t² + 20t +1, ở độ cao h(t) tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Trong khoảng thời điểm nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất?

Giải rút gọn: 

−4,9t² + 20t +1 > 5 ó −4,9t² + 20t – 4 > 0

Phương trình −4,9t² + 20t – 4 = 0 có nghiệm và

=> −4,9t² + 20t – 4 > 0 có nghiệm ( giây) 

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 6.15: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a. 3x²−4x+1           b. x²+2x+1             c. −x²+3x−2           d. −x²+x−1

Giải rút gọn:

a) khi ; khi

b) với mọi  

c) khi ; khi

d) với mọi .

Bài 6.16: Giải các bất phương trình bậc hai:

a. x²−1≥0                         b. x²−2x−1<0

c. −3x²+12x+1≤0            d. 5x²+x+1≥0  

Giải rút gọn:

a) 

.

b) 

.

c) 

.

d) a = 5 > 0 ;   => với mọi => tập nghiệm  .

Bài 6.17: Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi  x∈R.                        x²+(m+1)x+2m+3

Giải rút gọn:

a = 1 > 0 => x²+(m+1)x+2m+3 > 0 với mọi ó Δ < 0

ó  .

Bài 6.18 : Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu v₀ = 20m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.

Giải rút gọn:

Độ cao của vật

hoặc

Vì

Bài 6.19: Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM = x. Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.

Giải rút gọn:

MB = 4 – x 

Gọi diện tích hình tròn đường kính AB, AM và MB là S ; S₁ ; S₂

=>  

Mà =>