CHƯƠNG VI: HÀM SỐ, ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 17. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

HĐ1: 

- Chúng đều là đa thức (của biến x)

- Bậc của đa thức là bậc 2.

Định nghĩa: 

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng y=ax$^{2}$+bx+c, trong đó, a, b, c là các số thực cho trước (a≠0), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai. 

Luyện tập 1:

Biểu thức là tam thức bậc hai: 

C. -$\frac{2}{3}$x$^{2}$+7x-4

Chú ý: Nghiệm của phương trình bậc hai ax$^{2}$+bx+c=0 cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai ax$^{2}$+bx+c.

HĐ2: 

a) a=1

f(0)=3, f(1)=0, f(2)=-1, f(3)=0, f(4)=3. 

f(0), f(4) cùng dấu với a, 

f(2) trái dấu với a.

b)

+) (-∞;1) đồ thị nằm phía trên trục Ox.

+) (1;3) đồ thị nằm phía dưới trục Ox.

+) (3;+∞) đồ thị nằm phía trên trục Ox.

c) 

+) (-∞;1): f(x) và a cùng dấu với nhau

+) (1;3): f(x) và a trái dấu với nhau

+) (3;+∞): f(x) và a cùng dấu với nhau.

HĐ3: 

a)

+) (-∞;-1) đồ thị nằm phía dưới trục Ox.

+) (-1;$\frac{3}{2}$) đồ thị nằm phía trên trục Ox.

+) ($\frac{3}{2}$;+∞) đồ thị nằm phía dưới trục Ox.

c) 

+) (-∞;-1): f(x) và a cùng dấu với nhau

+) (-1;$\frac{3}{2}$): f(x) và a trái dấu với nhau

+) ($\frac{3}{2}$;+∞): f(x) và a cùng dấu với nhau.

Nhận xét:

Nếu tam thức bậc hai f(x)=ax$^{2}$+bx+c có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ , x$_{2}$ (x$_{1}$ <x$_{2}$) thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi giá trị x∈(-∞;x$_{1}$)∪(x$_{2}$;+∞) (ở ngoài đoạn hai nghiệm) và trái dấu với a với mọi giá trị x∈(x$_{1}$;x$_{2}$) (ở trong khoảng hai nghiệm).

HĐ4: 

Định lí:

Cho tam thức bậc hai f(x)=ax$^{2}$+bx+c a≠0

+) Nếu ∆<0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x∈R

+) Nếu ∆=0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x≠$-\frac{b}{2a}$ và f($-\frac{b}{2a}$)=0.

+) Nếu ∆>0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 (x1<x2). Khi đó, f(x) cùng dấu với hệ a với mọi x∈(-∞;x$_{1}$)∪(x$_{2}$;+∞); f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x∈(x$_{1}$; x$_{2}$) 

Chú ý: Trong định lí về dấu của tam thức bậc hai có thể thay ∆ bởi ∆'. 

Ví dụ 1 (SGK-tr.21)

Luyện tập 2:

a) f(x)=-3x$^{2}$+x-$\sqrt{2}$

∆=1-12$\sqrt{2}$<0 và a=-3<0 nên f(x)<0 với mọi x.

b) f(x)=x$^{2}$+8x+16

∆'=0 và a=1>0 nên f(x) có nghiệm kép x=-4 và fx>0 với mọi x≠-4.

c) f(x)=-2x$^{2}$+7x-3

∆=25>0, a=-2<0 và có hai nghiệm phân biệt là x$_{1}$=$\frac{1}{2}$, x$_{2}$=3. Ta có bảng xét dấu sau:

-2x$^{2}$+7x-3>0 với mọi x∈($\frac{1}{2}$;3) và -2x2+7x-3<0 với mọi x∈(-∞;$\frac{1}{2}$)U(3;+∞).

2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

HĐ5. 

-2x$^{2}$+20x+48≤0

Định nghĩa

- Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có dạng ax$^{2}$+bx+c>0 (hoặc ax$^{2}$+bx+c≥0, ax$^{2}$+bx+c<0,  ax$^{2}$+bx+c ≤0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho và a≠0.

- Số thực x$_{0}$ gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai ax$^{2}$+bx+c>0 nếu ax$_{0}^{2}$+bx$_{0}$+c>0. Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai ax$^{2}$+bx+c>0 gọi là tập nghiệm của bất phương trình này.

- Giải một bất phương trình bậc hai là tìm tập nghiệm của nó.

Nhận xét:

Để giải bất phương trình bậc hai ax$^{2}$+bx+c>0 (hoặc ax$^{2}$+bx+c≥0, ax$^{2}$+bx+c<0,  ax$^{2}$+bx+c ≤0) ta cần xét dấu của tam thức bậc hai ax$^{2}$+bx+c, từ đó suy ra tập nghiệm.

Ví dụ 2: (SGK-tr.22)

Ví dụ 3: (SGK-tr.23)

Luyện tập 3:

a) Tam thức f(x)=-5x$^{2}$+x-1

có: ∆=-16<0 và a=-5<0 nên f(x) luôn âm với mọi x.

Tập nghiệm S=R

b) Tam thức f(x)=x$^{2}$-8x+16

có ∆=0 và a=1>0 nên f(x) luôn dương với mọi x≠4.

Bất phương trình có nghiệm duy nhất là x=4.

c) Tam thức f(x)=x$^{2}$-x-6

có ∆=25>0 nên f(x) có hai nghiệm là x$_{1}$=-2,  x$_{2}$=3.

Mặt khác a=1>0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Tập nghiệm

 S=(-∞;-2)U(3;+∞)

*Vận dụng:

Xét bất phương trình

 -4,9t$^{2}$+20t+1>5

<=>-4,9t$^{2}$+20t-4>0

Nghiệm của phương trình -4,9t$^{2}$+20t-4=0 là t≈0,21 và t≈3,87

Do đó nghiệm của bất phương trình là 

t∈(0,21;3,87)

Vậy khoảng thời điểm t∈(0,21;3,87) (s) trong quá trình bay của quả bóng thì nó sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất.