BÀI 6.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1. ĐỊNH LÍ CÔSIN

HĐ 1. Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp.

a. Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1 km trên thực tế ứng với 1 cm trên bản vẽ).

b. Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilomet (số đo gần đúng).

c. Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hương đông nam) thì có thể dụng Định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?

Đáp án chuẩn:

a. 

b. 28 km

c. Có thể dùng Định lí Pythagore (Pi-ta-go) 

HĐ 2.Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a theo b, c và giá trị lượng giác của góc A.

a. Tính a² theo BD² và CD² .

b. Tính a² theo b, c và DA.

c. Tính DA theo c và cos A.

d. Chứng minh a² = b² + c² -2b.c.cos A.

Đáp án chuẩn:

a)

b)

c) = -c.cosA

d) Có: (1), thay DA = - c. cosA vào (1) được: 

.

Câu hỏi. Định lý Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của Định lí Cosin hay không?

Đáp án chuẩn:

Định lý Pythagore là một trường hợp đặc biệt của Định lí Côsin, khi góc A = 90^o.

Khám phá. Từ Định lí cosin,hãy viết các công thức tính cos A, cos B, cos C theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC.                              

Đáp án chuẩn:

Luyện tập 1. Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và  .Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác. 

Đáp án chuẩn: 

BC = ;

Vận dụng 1. Dùng định lí cosin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ1b.

Đáp án chuẩn: 

2. ĐỊNH LÍ SIN

HĐ 3. Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính R theo a và sin A.

Đáp án chuẩn: 

a)

b)

Luyện tập 2. Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và .Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài các cạnh còn lại của tam giác.

Đáp án chuẩn:

; ; ;  a .

3.GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ

Luyện tập 3. Giải tam giác ABC, biết b = 32, c = 45, 

Đáp án chuẩn:

A ≈ 54 ; ≈ 36⁰; ≈ 57⁰

Vận dụng 2. Từ một khu vực có thể quan sát được hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.

Đáp án chuẩn:

Bước 1: Từ một vị trí ở vùng quan sát, ngắm hai đỉnh núi và đo góc giữa hai hướng ngắm đó.

Bước 2: Tương tự Ví dụ 4, tính khoảng cách từ vị trí vừa nhắm tới các đỉnh núi.

Bước 3: Dùng định lí cosin để tính toán.

4.CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

HĐ 4. Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

a. Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.

b. Tính diện tích tam giác ABC theo r, a, b, c.

Đáp án chuẩn:

a) Diện tích tam giác ABC bằng tổng diện tích 3 tam giác IBC, ICA, IAB.

b)

HĐ 5. Cho tam giác ABC với đường cao BD.

a. Biểu thị BD theo AB và sin A.

b. Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A.

Đáp án chuẩn:

a) BD = AB.sin A

b)

Luyện tập 4. Tính diện tích của tam giác ABC có b = 2,

Đáp án chuẩn:

Thảo luận. Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính được theo độ dài các cạnh của tam giác ABC hay không?

Đáp án chuẩn:

sin A có thể tính theo độ dài của các cạnh tam giác ABC.

Vận dụng 3. Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như hình 3.17. Dùng chế độ tính khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên Hòa Bình.

Đáp án chuẩn:

(m²)

BÀI 6.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 3.5:  Cho tam giác ABC có a = 6, b = 5, c = 8. Tính cos A, S, r.

Đáp án chuẩn:

;  ; 

Bài 3.6: Cho tam giác ABC có a = 10,  .Tính R, b, c.

Đáp án chuẩn:

; ; .

Bài 3.7: Giải tam giác ABC và tính diện tích của tam giác đó, biết ,c = 6.

Đáp án chuẩn:

;  ; 

Bài 3.8: Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S70^oE với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.

a. Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

b. Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

Đáp án chuẩn:

a)

b) .

Bài 3.9 : Trên nóc một tòa nhà có một ăng-ten cao 5m. Từ một vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là 50^o và 40^o so với phương nằm ngang.

a. Tính các góc của tam giác ABC.

b. Tính chiều cao của tòa nhà.

Đáp án chuẩn:

a)

b)

Bài 3.10: Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều tà ngắm được).

Đáp án chuẩn:

• Tại nơi ta ngắm là vị trí điểm A đặt một cọc tiêu và đặt một cọc tiêu tại vị trí B nào đó. Đo khoảng cách AB.

• Gọi CD là độ dài của đảo, ta ngắm để đo các góc tại đỉnh A và B. Từ đó tính được AD trong tam giác ABD, tính AC trong tam giác ABC.

• Tính được CD trong tam giác ACD.

Bài 3.11: Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định là đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilomet so với đường cũ?

Đáp án chuẩn: