CHƯƠNG III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

BÀI 6. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1. ĐỊNH LÍ CÔSIN

HĐ1: 

a. Hình vẽ thể hiển sơ đồ đường đi của tàu, tàu xuất phát từ cảng Vân Phong (điểm A), đi theo hướng từ A đến B, sau đó từ B chuyển hướng đi C (hướng đông nam). Thời gian đi từ B đến C là 0,5 giờ.

b. Khoảng cách từ C đến A khoảng 28 cm, thì thực tế tàu cách cảng Vân Phong 28 km

c. Có thể dùng Định lí Pythagore (Pi-ta-go) vì nếu tàu chuyển hướng sang nam thì góc ABC là góc vuông, ta có thể áp dụng định lí Pythagore (Pi-ta-go).

Nhắc lại:

Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng;

a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C;

p là nửa chu vi;

S là diện tích;

R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.

HĐ2: 

a) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông BDC:

a$^{2}$=BD$^{2}$+CD$^{2}$

b) 

a$^{2}$=DB$^{2}$+DC$^{2}$=c$^{2}$-DA$^{2}$+(DA+b)$^{2}$=c$^{2}$+2.b.DA+b$^{2}$

c) DA=c.cos =c.(-cosA)=-c.cosA

d) Theo b ta có: a$^{2}$=c$^{2}$+2.b.DA+b$^{2}$ (1), thay DA = - c. cosA vào (1) được:

a$^{2}$=b$^{2}$+c$^{2}$-2bc.cos A .

Định lí côsin:

Trong tam giác ABC:

a$^{2}$=b$^{2}$+c$^{2}$-2bc.cos A

b$^{2}$=c$^{2}$+a$^{2}$-2ca.cos B

c$^{2}$=a$^{2}$+b$^{2}$-2ab.cos C

Câu hỏi:

Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của Định lí Côsin, khi góc A = 90$^{\circ}$.

Ví dụ 1 (SGK – tr39)

Khám phá:

coscos A =$\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

coscos B =$\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

coscos C =$\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Luyện tập 1:

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC có:

BC$^{2}$=AB$^{2}$+AC$^{2}$-2.Ab.AC.cos A =25+64-2.5.8.$\frac{1}{\sqrt{2}}$=89-40$\sqrt{2}$

Suy ra BC =$\sqrt{89-40\sqrt{2}}$≈5,6949.

coscos B =$\frac{BA^{2}+BC^{2}-CA^{2}}{2.BA.BC}$≈-0,1153,

Suy ra B≈96$^{\circ}$37'.

coscos C =$\frac{CA^{2}+CB^{2}-AB^{2}}{2.CA.CB}$≈0,7839,

Suy ra C≈38$^{\circ}$23'.

Trải nghiệm:

Vận dụng 1: 

Do tàu đi theo hướng đông đến B rồi chuyển hướng đông nam đến C nên góc $\widehat{ABC}$=135$^{\circ}$.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC có:

AC$^{2}$=AB$^{2}$+BC$^{2}$-2.AB.BC.cos 135$^{\circ}$=20$^{2}$+10$^{2}$-2.20.10.-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≈782,8⇒AC≈28

2. ĐỊNH LÍ SIN

HĐ3: 

a) Xét tam giác BMC vuông tại C có:

BM=2R=$\frac{a}{sinsinM}$ =$\frac{a}{sinsinA}$ (do $\widehat{A}$=$\widehat{M}$)

⇒R=$\frac{a}{2sinsinA}$

b) Xét tam giác BMC vuông tại C có:

BM=2R=$\frac{a}{sinsinM}$ =$\frac{a}{sinsinA}$

(do sin A = sin M vì $\widehat{A}$+$\widehat{M}$=180$^{\circ}$).

Định lí sin:

Trong tam giác ABC: 

$\frac{a}{sinsinA}$ =$\frac{b}{sinsinB}$ =$\frac{c}{sinsinC}$=2R

Ví dụ 2 (SGK – tr 40)

Luyện tập 2:

Theo định lí sin, ta có:

R=$\frac{b}{2sinsinB}$ =$\frac{8}{2sinsin80^{\circ}}$≈4,062.

$\frac{c}{sinsinC}$ =$\frac{b}{sinsinB}$ => sinsin C =$\frac{5sinsin80^{\circ}}{8}$≈0,6155.

Suy ra C≈38$^{\circ}$.

Do $\widehat{A}$+$\widehat{B}$+$\widehat{C}$=180$^{\circ}$, nên $\widehat{A}$=180$^{\circ}$-$\widehat{B}$-$\widehat{C}$≈62$^{\circ}$.

Theo định lí sin, ta có: $\frac{a}{sinsinA}$ =2R.

Suy ra a = sin A. 2R ≈7,1723.

3. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ

Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó gọi là giải tam giác.

Ví dụ 3 (SGk – tr40)

Luyện tập 3:

Chú ý:

Áp dụng các định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

+ Biết hai cạnh và góc xen giữa.

+ Biết ba cạnh

+ Biết một cạnh và hai góc kề.

Ví dụ 4: 

Bước 1: Trên bờ, đặt một cọc tiêu tại vị trí A và một cọc tiêu tại vị trí B nào đó. Đo AB.

Bước 2: Đo góc A, tạo bởi hai hướng ngắm Tháp Rùa và hướng cọc tiêu B, đỉnh tại A.

Bước 3: Đo góc B, tạo bởi hai hướng ngắm Tháp Rùa và hướng cọc tiêu A.

Bước 4: Gọi C là vị trí Tháp Rùa. 

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC để tính độ dài AC.

Vận dụng 2: 

Bước 1: Từ một vị trí ở vùng quan sát, ngắm hai đỉnh núi và đo góc giữa hai hướng ngắm đó.

Bước 2: Tương tự Ví dụ 4, tính khoảng cách từ vị trí vừa ngắm tới các đỉnh núi.

Bước 3: Dùng định lí côsin để tính toán.

4. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

HĐ4: 

a) Diện tích tam giác ABC bằng tổng diện tích 3 tam giác IBC, ICA, IAB.

b) Diện tích tam giác ABC:

S$_{ABC}$=$\frac{a.r}{2}$+$\frac{b.r}{2}$+$\frac{c.r}{2}$=$\frac{(a+b+c).r}{2}$

Kết luận: 

Công thức tính diện tích tam giác ABC:

S=pr=$\frac{(a+b+c).r}{2}$.

HĐ5: 

a) BD = AB.sin A

b) S$_{ABC}$=$\frac{BC.AC}{2}$=$\frac{b.c.sinA}{2}$

Kết luận:

Công thức tính diện tích tam giác ABC:

S=$\frac{1}{2}$bcsin A =$\frac{1}{2}$casin B =$\frac{1}{2}$absin C .

Ví dụ 5 (SGK – tr41)

Luyện tập 4: 

+) Áp dụng định lí sin, ta có:

$\frac{a}{sinsinA}$ =$\frac{b}{sinsinB}$ =$\frac{c}{sinsinC}$=2R

$\frac{a}{sinsinA}$ =$\frac{2}{sinsin30$^{\circ}$}$=$\frac{c}{sinsin45$^{\circ}$}$=2R

⇒c=$2\sqrt{2}$

+) $\widehat{A}$=180$^{\circ}$-$\widehat{B}$-$\widehat{C}$=105$^{\circ}$

+) Diện tích tam giác ABC: 

S=$\frac{b.c.sinA}{2}$=$\frac{2.2\sqrt{2}sin105^{\circ}}{2}$=1+$\sqrt{3}$

Kết luận:

Công thức tính diện tích tam giác ABC:

S=$\frac{abc}{4R}$

Thảo luận:

sin A có thể tính theo độ dài của các cạnh tam giác ABC.

Theo định lí côsin, ta có:

cos A =$\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

Mà A +A =1

A =$\frac{4b^{2}c^{2}-(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}}{2b^{2}c^{2}}$

+ Tính diện tích S theo các cạnh của tam giác ABC 

S=$\frac{1}{2}$bcsin A =$\frac{1}{2}$bc.$\sqrt{\frac{4b^{2}c^{2}-(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}}{2b^{2}c^{2}}}$

Kết luận:

Công thức Heron: Trong tam giác ABC:

S=$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Tổng kết:

Ví dụ 6 (SGK – tr42)

Vận dụng 3:

Áp dụng công thức Heron, ta được:

S$_{ABE}$≈51328(m$^{2}$)

S$_{BDE}$≈51495(m$^{2}$)

S$_{BCD}$≈112268(m$^{2}$)

Suy ra diện tích công viên Hòa Bình bằng:

S$_{ABE}$+S$_{BDE}$+S$_{BCD}$≈215091 (m$^{2}$).