BÀI 22. BA ĐƯỜNG CONIC

1. ELIP

HĐ 1. Đính hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định F₁, F₂ tren một mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm F₁, F₂ ). Kéo căng sợi dây tại một điểm M bởi một đầu bút dạ (hoặc phấn). Di chuyển đầu bút dạ để nó vẽ trên mặt bàn một đường khép kín. 

a. Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh nào ở Hình 7.17?

b. Trong quá trinh đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ nó tới các vị trí F₁, F₂ có thay đổi không? Vì sao?

Đáp án chuẩn:

a) Đường nhận được liên hệ với hình 7.17b.

b) Không thay đổi vì nó luôn bằng độ dài dây.

Câu hỏi. Tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện a > c?

Đáp án chuẩn:

Xét tam giác có: =>

Luyện tập 1. Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm. Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, thì sau khi va vào thành bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay không? Vì sao?

Đáp án chuẩn:

Độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu không phụ thuộc vào đường đi của bi.

HĐ 2. Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂ , tia Ox trùng tia OF₂ 

a. Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁, F₂

b. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi: 

Đáp án chuẩn:

a) và

b) Chứng minh

⇒ M thuộc elip (E).

Luyện tập 2. Cho elip có phương trình chính tắc . Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Đáp án chuẩn: 

Tiêu điểm: và  

Tiêu cự là .

Vận dụng 1. Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô thoáng trong Hình 7.22 là nửa nằm phía trên trục hoành của elip có phương trình .

Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ của bản vẽ thiết kế ứng với 30 cm trên thực tế. Tính chiều cao h của ô thoáng tại điểm cách điểm chính giữa của đế ô thoáng 75 cm.

Đáp án chuẩn: 

2. HYPEBOL

HĐ 3. Giả sử thiết bị tại F₂ nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại F₁ là 2 giây và vận tốc âm thanh là 343m/s.

a) Tìm mối quan hệ giữa các khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới F₁,F_2.

b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh có liên quan đến bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn MF₁- MF₂= 686 (m) hay không ?

Đáp án chuẩn: 

a) MF₁ – MF₂ = 686 (m). 

b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh chính là việc giải quyết bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn MF₁ – MF₂ = 686 (m). 

Câu hỏi. Tại sao trong định nghĩa hypebol cần điều kiện a < c?

Đáp án chuẩn:

Xét tam giác có: .

Luyện tập 3. Cho hình chữ nhật ABCD và M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

Đáp án chuẩn: 

Chứng minh  

• A,B,C,D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

HĐ 4. Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂ , .Tia Ox trùng với tia OF₂.Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁,F₂. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (H) khi và chỉ khi

Đáp án chuẩn:

a) và

b) Giả sử M thuộc hypebol (H) ta chứng minh:

Thật vậy:

  nên

⇒ M thuộc hypebol (H).

Luyện tập 4. Cho (H):. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của (H).

Đáp án chuẩn:

và  và tiệu cự là

3. PARABOL

HĐ 5. Cho parabol (P): y = . Xét F(0; 1) và đường thẳng Δ: y + 1 = 0. Với điểm M(x; y) bất kì, chứng minh rằng MF = d(M, Δ) ⇔ M(x; y) thuộc (P).

Đáp án chuẩn:

(= )

HĐ 6. Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn Δ. Gọi p là tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu vuông góc của F trên Δ. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF (H.7.27)

a. Nêu tọa độ của F và phương trình của Δ

b. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi 

Đáp án chuẩn:

a ; Đường thẳng Δ:

b) Chứng minh => M thuộc (P)

Vận dụng 2. Tại một vùng biển giữa đất liền và một đảo, người ta phân định một đường ranh giới cách đều đất liền và đảo. Coi bờ biển vùng đất liền đó là một đường thẳng và đảo là hình tròn. Hỏi đường ranh giới nói trên có hình gì? Vì sao?

Đáp án chuẩn:

Đường ranh giới cần tìm là đường parabol (P).

4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BA ĐƯỜNG CONIC

Vận dụng 3. Gương elip trong một máy tán sỏi thận (H.7.33) ứng với elip có phương trình chính tắc  (theo đơn vị cm). Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán.

Đáp án chuẩn:

36 cm

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 7.19: Cho elip có phương trình . Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Đáp án chuẩn:

Tiêu điểm và  

Tiêu cự:

Bài 7.20: Cho hypebol có phương trình: . Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

Đáp án chuẩn:

Tiêu điểm và  

Tiêu cự: 8

Bài 7.21: Cho parabol có phương trình: y² = 8x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

Đáp án chuẩn:

Tiêu điểm và đường chuẩn .

Bài 7.22: Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(5; 0) và có một tiêu điểm là F₂(3; 0).

Đáp án chuẩn:

 (E):

Bài 7.23: Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm M(2; 4).

Đáp án chuẩn:

Bài 7.24: Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s để một tàu thủy thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thủy thuộc đường hybebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.

Đáp án chuẩn:

Bài 7.25 : Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là A, điểm cuối là B, khoảng cách AB = 400m. Đỉnh parabol (P) của khúc của cách đường thẳng AB một khoảng 20 m và cách đều A, B.

a. Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 m trên thực tế.

b. Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 km trên thực tế.

Đáp án chuẩn:

a)

b)