CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

BÀI 4. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

HĐ1: Số tiền vốn mà cửa hàng phải bỏ ra để mua hai loại máy điều hòa là:

20x + 10y (triệu đồng).

a) x+y≤100

b) 20x+10y≤1200

c) 3,5x+2y.

Định nghĩa:

- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Cặp số (x$_{o}$) là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhât hai ẩn khi (x$_{o}$)  đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó.

Ví dụ 1 (SGK – tr 27)

Luyện tập 1: Ta có hệ bất phương trình

$\left\{\begin{matrix}x\geq 0 & \\ y\geq 0 & \\  x+y \leq 100& \\  2x+y \leq 120& \end{matrix}\right.$

Một nghiệm của hệ trên là:

(x; y) = (30; 20).

2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.

HĐ2:

a) + Trục Oy có phương trình x = 0

Điểm (1; 0) thỏa mãn 1 > 0, nên miền nghiệm D$_{1}$ của bất phương trình x≥0là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) (tính cả bờ Oy).

+ Trục Oy có phương trình y = 0.

Điểm (0; 1) thỏa mãn 1 > 0, nên miền nghiệmD$_{2}$ của bất phương trình y≥0là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0: 1) (tính cả bờ Ox).

+ Vẽ đường thẳng d: x + y = 150. Tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn 0 + 0 < 150.

Miền nghiệm D$_{3}$ của bất phương trình x+y≤150là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ (tính cả bờ d).

b) Miền tam giác OAB là giao của các miền D$_{1}$, D$_{2}$, D$_{3}$.

c) Ta có: 1 > 0, 2 > 0 và 1 + 2 < 150 nên (1; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Vì 1 > 0, 149 > 0 và 1 + 149 = 150 nên (1; 149) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Định nghĩa:

- Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tạo độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

- Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Ví dụ 2:

Bước 1: Xác định miền nghiệm của bất phương trình D$_{1}$ của bất phương trình 7x+4y≤2400 (miền không tô màu).

Bước 2: Xác định miền nghiệm D$_{2}$ của bất phương trình x+y≤100 (miền không tô màu).

Bước 3: Xác định miền nghiệm D$_{3}$ của bất phương trình x≥0 (miền không tô màu)

Cách xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

- Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.

- Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Chú ý:

Hệ bất phương trình {x≥0 y≥0 x+y<150 thì miền nghiệm sẽ là tam giác OAB bỏ đi cạnh AB.

Luyện tập 2:

Bước 1: Trục Oy có phương trình x = 0 và điểm (1; 0) thỏa mãn 1 > 0. 

=> miền nghiệm của bất phương trình x≥0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) (miền không bị gạch).

Bước 2: Trục Ox có phương trình y = 0 và điểm (0; 1) thỏa mãn 1 > 0.

=> miền nghiệm của bất phương trình y > 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0; 1), không kể trục Ox (miền không bị gạch).

Bước 3: Vẽ đường thẳng d: x + y = 100.

Tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn 0 + 0 < 100.

=> miền nghiệm của bất phương trình x+y ≤ 100 là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm (0; 0) (miền không bị gạch).

Bước 4: Vẽ đường thẳng d': 2x + y = 120.

Tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn 2. 0 + 0 < 120.

=> miền nghiệm của bất phương trình 2x+y<120là nửa mặt phẳng bờ d' chứa điểm (0; 0) (miền không bị gạch).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tứ giác OABC, không kể hai cạnh OC và BC (miền không bị gạch).

3. ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

HĐ3: 

a) 

Thay tọa độ điểm O(0; 0): 

F(0; 0) = 0

Thay tọa độ điểm A(150; 0):

 F(150; 0) = 300

Thay tọa độ điểm B(0; 150):

F(0; 150) = 450

b) Nhận xét: x và y đều nhận giá trị không âm.

Giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB là: 0 tại x = y = 0.

c) Nhận xét: x+y ≥ 0 và x+y ≤ 150.

Giá trị lớn nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB là: 450 tại x = 0, y = 150.

Nhận xét:

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức F(x; y) = ax + by, với (x; y) là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác A$_{1}$A$_{2}$...A$_{n}$, tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác, đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Ví dụ 3 (SGK – tr 29)

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của tứ giác này.

Bước 3: So sánh các giá trị thu được của F ở Bước 2 để tìm giá trị lớn nhất của F.

Vận dụng:

Gọi số lượng máy tính loại A cần nhập là x (x ∈N) và loại B cần nhập là y (y∈N).

Do tổng nhu cầu hằng tháng không vượt quá 250 máy nên ta có:

x+y ≤ 250.

Từ giả thiết ta suy ra giá máy mỗi loại A và B lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng. Do đó ta có bất phương trình:

10x+20y ≤ 4000⇔x+2y ≤ 400.

Khi đó ta có hệ bất phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x\geq 0 & \\ y\geq 0 & \\  x+y \leq 250& \\  x+2y \leq 400& \end{matrix}\right.$

b) Lợi nhuận thu được khi bán x máy loại A và y máy loại B là:

F(x; y) = 2,5x + 4y.

c) Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x; y) 

với (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình trên.

Bước 1: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh là:

O(0; 0), A(0; 200), B(100; 150), C(250; 0).

Bước 2: Tính giá trị của F(x) tại các đỉnh của tứ giác:

F(0; 0) = 0, F(0; 200) = 800, F(100; 150) = 850, F(250; 0) = 625.

Bước 3: So sánh, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là:

F(100; 150) = 850.

Vậy cửa hàng cần đầu tư 100 máy loại A và 150 máy loại B.