CHƯƠNG VII: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 21. ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

HĐ1.

Điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi khoảng cách IM = R.

Hay:$\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}$=R

Định nghĩa:

Điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C), tâm I(a;b), bán kính R khi và chỉ khi (x-a)$^{2}$+(y-b)$^{2}$=R$^{2}$   (1)

Ta gọi (1) là phương trình đường tròn (C) 

Ví dụ 1 (SGK – tr.43)

Luyện tập 1

(C): (x+2)$^{2}$+(y-4)$^{2}$=7

Có tâm I(-2;4), bán kính R=$\sqrt{2}$

Nhận xét:

Phương trình (1) tương đương với x$^{2}$+y$^{2}$-2ax-2by+(a$^{2}$+b$^{2}$-R$^{2}$)=0

Ví dụ 2 (SGK – tr.44)

Nhận xét: Phương trình x$^{2}$+y$^{2}$-2ax-2by+c=0 là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi 

a$^{2}$+b$^{2}$-c>0. Khi đó, (C) có tâm I(a;b) và bán kính R=$\sqrt{a^{2}+b^{2}-c}$

Luyện tập 2

a) Đây không là phương trình của đường tròn vì hai hệ số của x$^{2}$ và y$^{2}$ không bằng nhau nên ta không thể biến đổi về dạng phương trình đường tròn.

b) Phương trình đã cho không là phương trình đường tròn vì a$^{2}$+b$^{2}$-c=(-1)$^{2}$+2$^{2}$-6=-1<0

c) Ta có: a$^{2}$+b$^{2}$-c=11>0

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm I(-3;2) và có bán kính R=$\sqrt{a^{2}+b^{2}-c}$=11

Ví dụ 3 (SGK – tr.44)

Luyện tập 2

Gọi điểm I(x; y) là tâm của đường tròn (C), ta có: IM = IN = IP

Ta có: IM=$\sqrt{(x-4)^{2}+(y_5)^{2}}$

IN=$\sqrt{(x-2)^{2}+(y+1)^{2}}$

IP=$\sqrt{(x-3)^{2}+(y+8)^{2}}$

Vì IM = IN = IP nên ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix}(x-4)^{2}+(y+5)^{2}=(x-2)^{2}+(y+1)^{2} & \\ (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=(x-3)^{2}+(y+8)^{2} & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}-4x+8y=-36 & \\ 2x-14y=68 & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}x=-1 & \\ y=-5 & \end{matrix}\right.$ 

⇒I(-1;-5)

R=$\sqrt{(-1-4)^{2}+(-5+5)^{2}}$=5

Vậy phương trình đường tròn (C) là:

(x+1)$^{2}$+(y+5)$^{2}$=25

Vận dụng 1

Gọi bán kính bể hình tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là x, y (m). Khi đó, tổng chu vi ba bể là 32m khi và chỉ khi 1,57x+2,57y-8=0

Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S (m$^{2}$). Khi đó

x$^{2}$+y$^{2}$=$\frac{S}{3,14}$

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét đường tròn (C): x$^{2}$+y$^{2}$=$\frac{S}{3,14}$ có tâm O(0;0), bán kính R=$\sqrt{\frac{S}{3,14}}$ và đường thẳng ∆: 1,57x+2,57y-8=0. Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm R nhỏ nhất để (C) và ∆ có ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.

Ta có: R≥d(O;∆)

Mà d(O;∆)=$\frac{|1,57+2.57.0-8}{\sqrt{1,57^{2}+2,57^{2}}}$≈2,66

⇒R≥2,66

Dấu “=” xảy ra khi đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (C).

Vậy bán kính của bể nhỏ nhất cần tìm là R=2,66m

2. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

HĐ2.

a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn ta có:

(4-1)$^{2}$+(-2-2)$^{2}$=25

3$^{2}$+(-4)$^{2}$=25

⇔25=25 (đúng)

Vậy M thuộc đường tròn (C).

b) (C): (x-1)$^{2}$+(y-2)$^{2}$=25

có tâm I(1;2), bán kính R=5

c) Do $\underset{IM}{\rightarrow}$⊥∆⇒$\underset{IM}{\rightarrow}$ là một vectơ pháp tuyến của ∆

$\underset{n_{\Delta }}{\rightarrow}$=$\underset{IM}{\rightarrow}$=(3;-4)

Phương trình tổng quát của ∆ là:

∆:3(x-4)-4(y+2)=0

⇔∆:3x-4y-20=0

Kết luận:

Cho điểm M(x$_{0}$,y$_{0}$) thuộc đường tròn C: (x-a)$^{2}$+(y-b)$^{2}$=R$^{2}$ (tâm I(a;b), bán kính R). Khi đó, tiếp tuyến ∆ của (C) tại M(x$_{0}$,y$_{0}$) có vectơ pháp tuyến $\underset{MI}{\rightarrow}$=(a-x$_{0}$;b-y$_{0}$) và phương trình (a-x$_{0}$)(x-x$_{0}$)+(b-y$_{0}$)(y-y$_{0}$)=0

Ví dụ 4 (SGK – tr.46)

Luyện tập 4

Do 1$^{2}$+0$^{2}$-2.1+4.0+1=0, nên điểm N thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) . Tiếp tuyến của (C) tại N có vecto pháp tuyến là $\underset{IN}{\rightarrow}$=(0;2) 

Phương trình tiếp tuyến là: 0.(x-1)+2(y-0)=0 hay y=0

Vận dụng 2:

Khi tới vị trí M(3;4), vật bị văng khỏi quỹ đạo tròn và ngay sau đó bay theo hướng tiếp tuyến d của đường tròn tại điểm M. Do đó d đi qua điểm M và nhận vectơ $\underset{OM}{\rightarrow}$=(3;4) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình của d là:

3(x-3)+4(y-4)=0

⇔3x+4y-25=0