CHƯƠNG 5 – ĐƯỜNG TRÒN

BÀI 14 – CUNG VÀ DÂY CỦA MỘT ĐƯỜNG TRÒN

Bài 5.6: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn.

b) AH > DE.

Bài giải chi tiết:

a) Tam giác AEH vuông tại E nên 3 điểm A, E, H cùng nằm trên đường tròn đường kính AH.

Tam giác ADH vuông tại D nên 3 điểm A, D, H cùng nằm trên đường tròn đường kính AH.

Vậy 4 điểm A, E, H, D cùng nằm trên đường tròn đường kính AH.

b) Do góc A là góc nhọn nên dây DE của đường tròn đường kính AH không đi qua tâm của đường tròn (không phải đường kính).

Mà AH là đường kính của đường tròn đang xét nên AH < DE. (đpcm)

Bài 5.7: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Gọi (O) là đường tròn đi qua ba điểm A, B, C và E là điểm trên cung nhỏ BC sao cho BE = EC.

a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, E thẳng hàng.

b) Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Chứng minh rằng AH < AB < AE.

Bài giải chi tiết:

a) Xét ∆OAB và ∆OAC có:

OB = OC (bán kính đường tròn (O))

AC = AC (theo đề bài)

Chung cạnh OA

Nên ∆OAB = ∆OAC (c.c.c), do đó ˆAOB = ˆAOC

suy ra AB⏜=AC⏜  hay sđAB⏜ = sđAC⏜ (1)

Theo đề bài ta có BE⏜ = EC⏜, suy ra sđBE⏜ = sđEC⏜(2)

Từ (1) và (2) suy ra sđAB⏜ + sđBE⏜ = sđAC⏜ + sđEC⏜ hay sđABE⏜= sđACE⏜.

Mà sđABE⏜ + sđACE⏜ = 360° nên sđABE⏜ = sđACE⏜ = 180°

Suy ra cung ABE là nửa đường tròn.

Vậy 3 điểm A, O, E thẳng hàng. (đpcm)

b) Tam giác AHB vuông tại H nên AB là cạnh huyền của tam giác, AH là cạnh góc vuông nên AH < AB.

A, O, E thẳng hàng nên AE là đường kính của đường tròn (O), AB là một dây cung không đi qua tâm của đường tròn nên AB < AE.

Vậy AH < AB < AE. (đpcm)

Bài 5.8: Gọi H là trung điểm của dây AB không đi qua tâm của đường tròn (O).

a) Chứng minh rằng OH ⊥ AB.

b) Tính khoảng cách từ O đến AB, biết rằng AB = 8 cm và bán kính của (O) bằng 5 cm.

Bài giải chi tiết:

a) Vì OA = OB (bán kính đường tròn (O)) nên ∆OAB cân tại O.

H là trung điểm của AB nên OH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác cân OAB.

Vậy OH ⊥ AB. (đpcm)

b) H là trung điểm của AB nên AH = = = 4 (cm).

Áp dụng định lý Pythagore với tam giác OAH ta có:

OH = = = 3 (cm).

Vậy khoảng cách từ O đến AB là 3 cm.

Bài 5.9: Kim giờ và kim phút của một chiếc đồng hồ tạo thành góc ở tâm có số đo là bao nhiêu độ vào mỗi thời điểm sau:

a) 3 giờ?     

b) 6 giờ?

c) 8 giờ?     

d) 11 giờ

Bài giải chi tiết:

Một chiếc đồng hồ có 12 số chỉ giờ.

Mỗi giờ, kim phút luôn đứng ở vị trí số 12, kim giờ di chuyển được vòng, ứng với cung = 30°

Với các thời điểm từ 7 đến 11 giờ, số đo góc ở tâm sẽ được tính là góc nhọn bằng 360° trừ đi số đo cung mà kim giờ đã di chuyển.

Vậy số đo góc ở tâm tương ứng với các thời điểm tương ứng là:

a) 3 . 30° = 90°.

b) 6 . 30° = 180°.

c) 360° – 8 . 30° = 120°.

d) 360° – 11 . 30° = 30°.

Bài 5.10: Cho ba điểm A, B và c nằm trên đường tròn (O) sao cho ˆAOB = 110° và sđ ˆAC = 50°.Tính số đo của cung lớn BC.

Bài giải chi tiết:

Trường hợp 1: Điểm O nằm trong cung nhỏ AB:

Ta có ˆBOC = ˆAOB −ˆAOC = 110° − 50° = 60°

Do đó số đo cung nhỏ BC là 60°.

Vậy số đo cung lớn BC là 360° – 60° = 300°.

Trường hợp 2: Điểm O nằm trong cung lớn AB:

ˆBOC =ˆAOB +ˆAOC =110° + 50° = 160°

Do đó số đo cung nhỏ BC là 160°.

Vậy số đo cung lớn BC là 360° – 160° = 200°.