CHƯƠNG 2 – PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

BÀI 5 – BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÍNH CHẤT

Bài 2.7: Khi đi trên tuyến cao tốc Thành phố Hồ Chí Minh – Trung Lương, chúng ta thấy biển báo giao thông báo hiệu giới hạn tốc độ mà xe ô tô được phép đi trong điều kiện bình thường. Hãy viết các bất đẳng thức để mô tả tốc độ cho phép của ô tô

a) ở làn ngoài cùng bên trái và ở làn giữa;

b) ở làn ngoài cùng bên phải.

Bài giải chi tiết:

Gọi x (km/h) là tốc độ cho phép của ô tô trên cao tốc Thành phố Hồ Chí Minh – Trung lương trong điều kiện bình thường. Khi đó ta có:

a) 60 ≤ x và x ≤ 100 hay 60 ≤ x ≤ 100.

b) 50 ≤ x và x ≤ 80 hay 50 ≤ x ≤ 80.

Bài 2.8: Viết bắt đẳng thức để mô tả tình huống sau:

a) Bạn phải ít nhất 18 tuổi mới được đi bầu cử đại biểu Quốc hội.

b) Một thang máy chở được tối đa 700 kg.

c) Bạn phải mua hàng có tổng giá trị ít nhất 1 triệu đồng mới được giảm giá.

d) Bạn phải ném vào rổ ít nhắt 5 quả bóng mới vào được đội tuyển bóng rổ.

Bài giải chi tiết:

a) Gọi số tuổi của một người là t (tuổi). Để người đó được đi bầu cử đại biểu quốc hội thì t ≥ 18.

b) Gọi x (kg) là khối lượng hàng hóa mà thang máy chở được. Khi đó x ≤ 700.

c) Gọi a (đồng) là số tiền mua hàng. Để được giảm giá thì a ≥ 1 000 000.

d) Gọi y là số bóng được ném vào rổ.

Để được tham gia vào đội tuyển bóng rổ thì y ≥ 5.

Bài 2.9: So sánh:

a) và

b) và

Bài giải chi tiết:

1. Ta có

> = -2; -2 = >

Ta thấy: > -2 > do đó >

1. Ta có: 

< = 2024

2025 = <

2024 < 2025

Ta thấy  < 2024 < 2025 <

Do đó: <

Bài 2.10: Cho a > b, hãy so sánh:

a) 20a + 5b và 20b + 5a;

b) –3(a + b) – 1 và –6b – 1.

Bài giải chi tiết:

a) Vì a > b nên 15a > 15b

15a + 5a + 5b > 15b + 5a + 5b

20a + 5b > 20b + 5a

Vậy 20a + 5b > 20b + 5a.

b) Vì a > b nên –3a < –3b

–3a – 3b – 1< –3b – 3b – 1

–3(a + b) – 1 < –6b – 1

Vậy –3(a + b) – 1 < –6b – 1.

Bài 2.11: Cho a > b > 0, chứng minh rằng:

a) a² > ab và ab > a²;

b) a² > b² và a³ > b³.

Chú ý: Tính chất "Với a > b > 0 thì a² > b² và a³ > b³" thường hay dùng trong nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức.

Bài giải chi tiết:

a) Vì a > b > 0 nên:

⦁ a . a > b . a hay a² > ab.

⦁ a . b > b . b hay ab > b².

Vậy với a > b > 0 thì a² > ab và ab > a².

b) Theo câu a ta có:

a² > ab > b², suy ra a² > b².

Vì a² > b² nên:

⦁ a² . a > b² . a hay a³ > ab².

⦁ b² . a > b² . b hay ab² > b³.

Suy ra a³ > ab² > b³ hay a³ > b³.

Vậy với a > b > 0 thì a³ > b³.

Bài 2.12: Chứng minh rằng với mọi số a, b ta có: ≥ ab

Bài giải chi tiết:

Xét hiệu – ab ta được:

– ab = =

Vì (≥ 0 nên ≥ 0 hay – ab ≥ 0 => ≥ ab

Vậy với mọi số a,b ta có: ≥ ab

Bài 2.13: Chứng minh rằng: Trong ba số tự nhiên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại.

Bài giải chi tiết:

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n – 1, n và n + 1.

Ta có n² – (n + 1)(n – 1) = n² – (n² – 1) = 1 > 0.

Suy ra n² – (n + 1)(n – 1) > 0, hay n² > (n + 1)(n – 1).

Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại