CHƯƠNG 4 – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

BÀI 11 – TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

Bài 4.1:

a) Vẽ tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tính BC, sin B, cos B.

b) Vẽ tam giác MNP vuông tại M, MN = 6 cm, MP = 8 cm. Hỏi hai tam giác ABC, MNP có đồng dạng không? Tính sin N, cos N.

Bài giải chi tiết:

a)

Theo định lý Pythagore, ta có: BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25.

Suy ra BC = = 5 (cm).

Từ đó ta có: 

sinB = = ; cosB = =

Vậy BC = 5 cm, sinB = ; cosB =

b)

Ta thấy: = = =

Suy ra hai tam giác vuông MNP và ABC đồng dạng vì có hai cặp cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ.

Từ đó suy ra sinN = sinB = = ; cosP = cosB = =

Vậy hai tam giác MNP và ABC đồng dạng, sinN = , cosP =

Bài 4.2:

a) Chứng minh rằng với mọi góc nhọn α < 45°, ta có

sin (45°– α) = cos (45° + α), cos (45° – α) = sin (45° + α).

b) Không dùng MTCT, tính sin 25° + sin 35° + sin 45° – cos 45° – cos 55° – cos 65°.

Bài giải chi tiết:

a) Ta thấy (45° – α) + (45° + α) = 90°, suy ra đây là hai góc phụ nhau.

Do đó sin (45° – α) = cos (45° + α), cos (45°– α) = sin (45° + α).

b) sin 25° + sin 35° + sin 45° – cos 45° – cos 55° – cos 65°.

= (sin 25°– cos 65°) + (sin 35° – cos 55°) + (sin 45° – cos 45°) = 0.

Bài 4.3: Khi góc α lần lượt bằng 10°, 20°, 30°, 40°, hãy dùng MTCT tính sin α trong mỗi trường hợp (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Bài giải chi tiết:

+ Để tính sin 10°, ta sử dụng MTCT bấm liên tiếp các phím:

Ta được sin 10° ≈ 0,174.

+ Để tính sin 20°, ta sử dụng MTCT bấm liên tiếp các phím:

Ta được sin 20° ≈ 0,342.

+ Để tính sin 30°, ta sử dụng MTCT bấm liên tiếp các phím:

Ta được sin 30° ≈ 0,500.

+ Để tính sin 40°, ta sử dụng MTCT bấm liên tiếp các phím:

Ta được sin 40° ≈ 0,643.

Bài 4.4: Hãy dùng MTCT, tìm số đo của góc nhọn α (làm tròn đến độ) trong mỗi trường hợp

a) Khi sin α lần lượt bằng , , ,

b) Khi cos α lần lượt bằng , , ,

Bài giải chi tiết:

a) Sử dụng MTCT bấm liên tiếp các phím:

Ta được sinα = thì α ≈ 14°.

Tương tự, ta tính được:

Sinα = thì α ≈ 19°.

Sinα = thì α =30°.

Sinα = thì α ≈ 42°.

b) Sử dụng MTCT bấm liên tiếp các phím:

Ta được cosα =  thì α ≈ 76°.

Tương tự, ta tính được:

Cosα = thì α ≈ 71°.

Cosα = thì α ≈ 60°.

Cosα = thì α ≈ 48°.

Bài 4.5: Biết rằng với mỗi góc nhọn α, ta có sin² α + cos² α = 1, không dùng MTCT, hãy tính sin² 25° + sin² 35° + sin² 45° + sin² 55° + sin² 65°.

Bài giải chi tiết:

Do các góc phụ nhau có sin α = cos (90°– α) nên ta có:

sin 65° = cos 25°, sin 55° = cos 35°

Ta có:

sin² 25° + sin² 35° + sin² 45° + sin² 55° + sin² 65°.

= sin² 25° + sin² 35° + sin² 45° + cos² 35° + cos² 25°

= (sin² 25° + cos² 25°) + (sin² 35°  + cos² 35°) + sin² 45°

= 1 + 1 + 0,5

= 2,5.

Vậy sin² 25° + sin² 35° + sin² 45° + sin² 55° + sin² 65° = 2,5.

Bài 4.6: Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông đo được 5 cm, 12 cm. Hỏi sin của góc nhọn nhỏ nhất của tam giác đó bằng bao nhiêu?

Bài giải chi tiết:

Xét tam giác vuông ABC có AB = 5 cm, AC = 12 cm. Góc nhọn cần tính là góc C.

Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

BC = = = 13 (cm)

Do đó sinC = =

Vậy sin của góc nhọn nhỏ nhất trong tam giác đó bằng

Bài 4.7: Xét tam giác ABC vuông tại B, có ˆA = 30°. Tia Bt sao cho ˆCBt = 30° cắt tia AC ở D, D nằm giữa A và C. Chứng minh rằng khoảng cách từ D đến đường thẳng BC bằng

Bài giải chi tiết:

ˆBCA = 90°−ˆBAC = 90° − 30° = 60°

ˆBDC = 180° − ˆBCD −ˆCBD = 180° − 60° − 30° = 90°

Do đó tam giác BDC và tam giác ABD vuông tại D.

+ Xét tam giác vuông ABD, ta có:

= sinˆBAD = sin30° = 12

Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ D tới BC.

Khi đó ta có DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng BC.

+ Xét tam giác vuông BDE, ta có:

= sinˆDBE = sin30° =

Ta có: = ⋅= . =

suy ra DE = (đpcm).

Bài 4.10: Một cái diều có dây diều dài 8 m, khi dây diều căng thì diều bay ở độ cao 6 m. Hỏi khi đó dây diều tạo với phương ngang của mặt đất góc nhọn α xấp xỉ bằng bao nhiêu độ (H.4.7)?

Bài giải chi tiết:

Gọi vị trí của điều là B, đầu dây diều là C, hình chiếu vuông góc của diều tới phương ngang của đầu dây điều là A.

Ta thấy BC = 8 m, AB = 6 m và tam giác BAC vuông tại A.

Ta có: sinα = = =

Dùng MTCT tính được α ≈ 49°

Vậy khi đó dây diều tạo với phương ngang của mặt đất góc nhọn α xấp xỉ bằng 49°.

Bài 4.15: Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác sin α, cos α, tan α, cot α hãy chứng minh rằng:

a) tanα = ; cotα =

b) 1 + α =

Bài giải chi tiết:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A với góc B là góc α, ta có:

sinB = ; cosB =

Khi đó: = : = . = = tanB

 = : = . = = cotB

b) B + B = = = 1 (định vì AB² + AC² = BC²).

Suy ra sin² α + cos² α = 1.

Do đó 1 + α = 1 + = = (dpcm).

Bài 4.16: Cho góc α có tan α = . Tính sin α, cos α.

Bài giải chi tiết:

Ta có:

= 1 + α = 1 + =

Suy ra = hay cosα =

Vì tanα =  suy ra = tanα. cosα = . =

Vậy cosα = , sinα =

Bài 4.17: Với α < β < 90°, chứng minh rằng:

a) cos α > cos β (HD. Sử dụng Ví dụ 5 và bài 4.15);

b) sin α < sin β (HD. Sử dụng công thức sin² α + cos² α = 1).

Bài giải chi tiết:

Theo Ví dụ 5, khi số đo góc nhọn α tăng lên thì tan α tăng nên, suy ra với α < β < 90° thì tan α > tan β.

a) Ta có: tanα < tanβ

α < β

1 + α < 1 + β

<

>

cos α > cos β (đpcm).

b) Theo câu a ta có: cos α > cos β

>

1 − < 1 -

<

sin α < sin β (đpcm).