CHƯƠNG 2 – PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 2

TRẮC NGHIỆM

Bài 1: Nghiệm của bất phương trình –5x – 1 < 0 là

A. x >

B. x <

C. x ≥

D. x ≤

Bài giải chi tiết:

Đáp án đúng là: A

–5x – 1 < 0 => –5x < 1 => x >

Bài 2: Điều kiện xác định của phương trình là

A. x ≠ 1

B. x ≠

C. x ≠ 1 và x ≠

D. x ∈ R

Bài giải chi tiết:

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của phương trình đã cho là

x – 1 ≠ 0 và 2x + 1 ≠ 0 hay x ≠ 1 và x ≠

Bài 3: Phương trình 2x + 1 = m có nghiệm lớn hơn –2 với

A. m > 0.

B. m > –2.

C. m > –3.

D. m ≤ –3.

Bài giải chi tiết:

Đáp án đúng là: C

Ta có: 2x + 1 = m

2x = m – 1

x =

Nghiệm của phương trình lớn hơn –2 nên ta có:

> -2

m – 1 > –4

m > (–4) + 1

m > –3.

Vậy phương trình 2x + 1 = m có nghiệm lớn hơn –2 với m > –3.

Bài 4: Nghiệm của bất phương trình 3x – 1 ≤ 2x + 2 là

A. x > 3.

B. x < 3.

C. x ≥ 3.

D. x ≤ 3.

Bài giải chi tiết:

Đáp án đúng là: D

3x – 1 ≤ 2x + 2

3x – 2x ≤ 2 + 1

x ≤ 3.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≤ 3.

Bài 5: Cho a > b, khi đó ta có

A. 2a > b + 1.

B. –2a > –2b.

C. 2a > a + b.

D. 3a < a + 2b.

Bài giải chi tiết:

Đáp án đúng là: C

Vì a > b nên:

a + a > a + b

2a  > a + b

B. TỰ LUẬN

Bài 2.20: Giải các phương trình sau:

a) 5x(x + 2) – 10x – 20 = 0;

b) x² – 4x = x – 4.

Bài giải chi tiết:

a) 5x(x + 2) – 10x – 20 = 0

5x(x + 2) – (10x + 20) = 0

5x(x + 2) – 5(x + 2) = 0

(5x – 5)(x + 2) = 0

5x – 5 = 0 hoặc x + 2 = 0.

⦁ Với 5x – 5 = 0, suy ra 5x = 5 hay x = 1

⦁ Với x + 2 = 0, suy ra x = –2.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = –2.

b) x² – 4x = x – 4.

x(x – 4) = x – 4

x(x – 4) – (x – 4) = 0

(x – 1)(x – 4) = 0

x – 1 = 0 hoặc x – 4 = 0.

⦁ Với x – 1 = 0 suy ra x = 1.

⦁ Với x – 4 = 0 suy ra x = 4.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = 4.

Bài 2.21: Giải các phương trình sau:

a) = +

b) + = 2

Bài giải chi tiết:

1. = +

=

=

x² – x + 6 = 6 => x² – x = 6 – 6

x² – x = 0

x(x – 1) = 0

x = 0 hoặc x – 1 = 0 hay x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm x = 0 và x = 1.

1. + = 2

=  

Vậy phương trình có nghiệm là x = –2,5.

Bài 2.22: Giải các bất phương trình sau:

a) (3x + 1)(x + 2) > x(3x – 2) + 1;

b) 2x(x + 1) + 3 < x(2x + 5) – 7.

Bài giải chi tiết:

a) (3x + 1)(x + 2) > x(3x – 2) + 1;

3x² + 7x + 2 > 3x² – 2x + 1

7x + 2 > –2x + 1

7x + 2x > 1 – 2

9x > –1

x >

Vậy x >

b) 2x(x + 1) + 3 < x(2x + 5) – 7.

2x² + 2x + 3 < 2x² + 5x – 7

2x + 3 < 5x – 7

2x – 5x < –7 – 3

–3x < –10

x >

Vậy x >

Bài 2.23:

a) Cho a < b và c < d, chứng minh rằng a + c < b + d.

b) Cho 0 < a < b và 0 < c < d, chứng minh rằng 0 < ac < bd.

Bài giải chi tiết:

a)

Vì a < b nên a + c < b + c.

Vì c < d nên b + c < b + d.

Suy ra a + c < b + c < b + d hay a + c < b + d.

Vậy với a < b và c < d thì a + c < b + d.

b) 

Vì 0 < a và 0 < c nên 0 < ac.

Vì 0 < a < b và 0 < c nên ac < bc.        (1)

Vì c < d và 0 < b nên bc < bd.             (2)

Từ (1) và (2) ta được ac < bc < bd hay ac < bd.

Vậy với 0 < a < b và 0 < c < d thì 0 < ac < bd.

Bài 2.24: Chứng minh rằng với số a > 0, b > 0 bất kì, ta luôn có + ≥ 2

Bài giải chi tiết:

Xét hiệu + - 2 ta có:

+ - 2 = =

Với a > 0, b > 0 thì ≥ 0; ab > 0 nên ≥ 0 hay + - 2 ≥ 0

Suy ra + ≥ 2

Vậy với số a > 0, b > 0 bất kì, ta luôn có + ≥ 2

Bài 2.25: Hà phải làm 4 bài kiểm tra tiếng Anh: nghe, nói, đọc và viết. Bài nghe, nói, đọc Hà đạt điểm số lần lượt là 78, 83 và 89. Hỏi bài kiểm tra viết, Hà phải đạt điểm số là bao nhiêu để điểm số trung bình Hà đạt được của cả 4 bài kiểm tra ít nhất là 85?

Bài giải chi tiết:

Gọi điểm bài kiệm tra viết của Hà là x.

=

Điểm trung bình 4 bài kiểm tra của Hà là:

Điểm trung bình của 4 bài kiểm tra của Hà cần đạt được ít nhất là 85 nên ta có:

250 + x4 ≥ 85

250 + x ≥ 85 . 4

250 + x ≥ 340

x ≥ 340 – 250

x ≥ 90

Vậy bài thi viết của Hà cần đạt ít nhất là 90 điểm.

Bài 2.26: Mức lương tối thiểu theo quy định ở Pháp năm 2022 là 10,25 € cho mỗi giờ làm việc. Trong dịp hè, Laurent David làm thêm tại một khách sạn theo mức lương tối thiểu như quy định và anh ấy muốn kiếm được ít nhất 1500 € trong mùa hè này.

a) Hãy viết một bất phương trình mô tả tình huống này.

b) Hỏi anh ấy cần làm việc ít nhất bao nhiêu giờ để kiếm được số tiền trên?

(€ là viết tắt của từ Euro, là loại tiền tệ mà 20 nước thuộc liên minh Châu Âu đang sử dụng chung)

Bài giải chi tiết:

Gọi số giờ David làm thêm là x (giờ).

Số tiền David kiếm được là 10,25x (€).

David muốn kiếm được ít nhất 1 500 € nên ta có:

10,25x ≥ 1 500

x ≥

x ≥ 146,34

Vậy David cần làm thêm ít nhất là 147 giờ để kiếm được số tiền như trên.

Bài 2.27: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B trên cùng quãng đường dài 150 km. Vận tốc xe thứ nhất hơn vận tốc xe thứ hai là 10 km/h và xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai là 30 phút. Hỏi vận tốc của hai xe là bao nhiêu?

Bài giải chi tiết:

Đổi 30 phút = giờ.

Gọi vận tốc của xe thứ nhất là x (km/h).

Vận tốc xe thứ hai là x – 10 (km/h) (x>10).

Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là  (giờ).

Thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là  (giờ).

Xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai 30 phút (  giờ) nên ta có:

 -  =  => =  

 =  =>  =  

x² – 10x = 1500 . 2

x² – 10x = 3000

x² – 10x + 25 = 3000 + 25

(x–5)² = 3025

(x–5)² = 55²

(x–5)² – 55² = 0

(x – 5 – 55)(x – 5 + 55) = 0

(x – 60)(x + 50) = 0

x – 60 = 0 hoặc x + 50 = 0.

⦁ Với x – 60 = 0 suy ra x = 60 (chọn).

⦁ Với x + 50 = 0 suy ra x = –50 (loại).

Vậy vận tốc xe thứ nhất là 60 km/h, vận tốc xe thứ hai là 60 – 10 = 50 (km/h).