CHƯƠNG 4 – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

BÀI 12 – MỘT SỐ HỆ THỨC GIỮA CẠNH, GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG VÀ ỨNG DỤNG

Bài 4.18: Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Hãy tính cos C theo hai cách và suy ra AC² = BC . HC.

Bài giải chi tiết:

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có: cosC =

Xét tam giác HAC vuông tại H ta có: cosC =

Suy ra = , hay AC² = BC . HC (đpcm).

Bài 4.19: Gọi AH là đường cao của tam giác ABC vuông tại A.

Tính tanˆABH và tanˆCAH suy ra AH² = BH . CH.

Bài giải chi tiết:

Xét tam giác vuông ABH có tanˆABH =

Xét tam giác vuông CAH có tanˆACH =

Vì hai góc BAH và CAH là hai góc phụ nhau (tam giác ABC vuông tại A) nên ta có:

tanˆABH = cotˆACH = hay =

Suy ra AH² = BH . CH (đpcm)

Bài 4.20: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Chứng minh rằng:

= +

(HD. Ta có sin B = , sin C = , cos B = sin C và áp dụng công thức sin² α + cos² α = 1 với mọi góc nhọn α).

Bài giải chi tiết:

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: tanˆABH =

Xét tam giác ACH vuông tại H ta có: tanˆACH =

Vì ˆABH và ˆACH là hai góc phụ nhau (tam giác ABC vuông tại A) nên:

tanˆABH = cotˆACH = hay =

Suy ra AH² = BH . CH (đpcm).

Bài 4.21: Cho tam giác ABC có BC = 11 cm, ˆABC=38°, ˆACB = 30°. Gọi H là chân của đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Hãy tính AH.

Bài giải chi tiết:

Vì hai góc B và C của tam giác ABC đều nhọn nên đường cao AH có chân đường cao H nằm giữa B và C.

Gọi h (cm) là độ dài đường cao AH của tam giác ABC.

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

tanˆABH = hay tan38° = suy ra BH =

Xét tam giác ACH vuông tại H, ta có:

tanˆACH = hay tan30° = suy ra CH =

Ta có: BC = BH + CH

Hay 11= + = h (+ )

Do đó h = ≈ 3,652 (cm).

Vậy AH ≈ 3,652 cm.

Bài 4.22: Giải tam giác ABC vuông tại A, với AB = c, BC = a, CA = b trong các trường hợp (cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) a = 5, ˆB = 50°;

b) b = 5, ˆB = 40°;

c) b = 5, ˆC = 55°

Bài giải chi tiết:

a) Ta có: ˆC = 90° −ˆB = 90° − 50° = 40°

b = a.sinB = 5.sin50° ≈ 3,830

c = a.sinC = 5.sin40° ≈ 3,214

Vậy tam giác ABC có a = 5, b ≈ 3,830, c ≈ 3,214, ˆA = 90°,ˆB = 50°,ˆC = 40°

b) Ta có: ˆC = 90°−ˆB = 90°− 40° = 50°

a = = ≈ 7,779

c = b .cot40° =5.cot40° ≈ 5,959

c) Ta có: ˆB = 90° −ˆC = 90° − 55° = 35°

a = = ≈ 8,717

c = b.tanC = 5.tan55° ≈ 7,141

Bài 4.23: Cho A, B là hai địa điểm ở hai bên bờ sông, biết AN và PM cùng vuông góc MN, MN = n (mét), MP = p (mét), p > n và ˆMPA = α (H.4.12). Chứng minh rằng: AB =

Bài giải chi tiết:

Vì AN và PM cùng vuông góc với MN nên AN // PM.

Vì AN // PM nên ˆBAN = ˆBPM = α

+ Xét tam giác BAN vuông tại N ta có:

BN = ABsinˆBAN=AB.sinα

+ Xét tam giác BPM vuông tại M ta có:

BM = PM.tanˆBPM = p.tanα

Ta có: BM – BN = MN

p . tan α – AB . sinα = n

AB . sinα = p . tanα – n

AB = (đpcm).

Bài 4.24: Một người đứng xa toà nhà 100 m, dùng giác kế thẳng đứng ngắm thấy điểm trên nóc nhà với góc nhìn 15° (so với phương nằm ngang) (H.4.13). Hỏi toà nhà cao bao nhiêu mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất), biết chiều cao của giác kế là 1,7 m?

Bài giải chi tiết:

Gọi C là chân tòa nhà, D là điểm trên nóc tòa nhà, A là điểm đặt mắt giác kế.

Kẻ đường cao AH của tam giác ACD, ta có:

CH = 1,7 m, AH = 100 m, ˆDAH =15°

Xét tam giác AHD vuông tại H, ta có:

HD = AH.tanˆDAH = 100.tan15°

Do đó CD = CH + HD = 1,7 + 100 . tan 15° ≈ 28,5 (m)

Vậy tòa nhà cao xấp xỉ 28,5 m.

Bài 4.25: Hai trạm quan trắc tàu biển đặt ở hai mỏm núi A và B cách nhau 2 km, nhìn thấy chiếc tàu C ở phía xa với với ˆCAB = 50°,ˆCBA = 45°(H.4.14). Hỏi tàu còn cách đường thẳng AB bao nhiêu mét?

Bài giải chi tiết:

Kẻ đường cao CH vuông góc với AB.

+ Xét tam giác ACH vuông tại H ta có:

AH = CH.cotA = CH.cot50°

+ Xét tam giác BCH vuông tại H, ta có:

BH = CH.cotB = CH.cot45°

Do AB = AH + HB, nên

2000 = CH.cot50° + CH.cot45° = CH.(cot45° + cot50°)

Suy ra CH = ≈ 1087(m).

Vậy tàu còn cách đường thẳng AB xấp xỉ 1 087 m.

Bài 4.26: Trong một trận chiến đấu, một máy bay của đối phương bay ở độ cao 1 800 m. Khẩu pháo cao xạ ngắm chiếc máy bay đó dưới một góc 35° so với phương nằm ngang. Tìm khoảng cách từ pháo cao xạ đến máy bay (làm tròn đến mét).

Bài giải chi tiết:

Gọi vị trí của khẩu pháo cao xạ là A, vị trí máy bay là B, C là vị trí hình chiếu của máy bay với mặt đất.

Khi đó ta có: BC = 1 800 m, ˆBAC=35°BAC^=35°, khoảng cách từ pháo cao xạ tới máy bay là độ dài đoạn AB.

Xét tam giác ABC vuông tại C ta có:

AB = =3138 (m).

Vậy khoảng cách từ pháo cao xạ tới máy bay xấp xỉ bằng 3 138 m.

Bài 4.27: Từ một đài quan sát ở cạnh bờ biển, có độ cao 300 m so với mặt biển, nhìn thấy một con tàu dưới một góc 25° (so với phương nằm ngang của mực nước biển). Hỏi khoảng cách từ tàu đến đài quan sát xấp xỉ bao nhiêu mét?

Bài giải chi tiết:

Gọi vị trí đài quan sát là A, vị trí chân đài quan sát là H, vị trí con tàu là B.

Khi đó ta có: AH = 300 m, ˆABH = 25°, khoảng cách từ tàu đến chân đài quan sát là đoạn BH.

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

BH = AH.cotˆABH = 300.cot25° ≈ 643 (m).

Vậy khoảng cách từ tàu đến chân đài quan sát xấp xỉ 643 m.