BÀI 20. ĐỊNH LÍ VIETE VÀ ỨNG DỤNG

Bài tập 6.17 (trang 13): 

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) √3x2−(√3+1)x+1=03x2−3+1x+1=0

b) 3x2+(√5−1)x−4+√5=03x2+5−1x−4+5=0

c) 2x2−3√5x+5=02x2−35x+5=0, biết rằng phương trình có một nghiệm là x=√5

Bài giải chi tiết: 

a) √3x2−(√3+1)x+1=03x2−3+1x+1=0

Ta có a=√3,b=−(√3+1),c=1a=3,b=−3+1,c=1

Vì a+b+c=√3−(√3+1)+1=0a+b+c=3−3+1+1=0 nên phương trình có hai nghiệm là:

x₁ = 1 và x2=ca=1√3=√33x2=ca=13=33

Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = 1 và x2=√33x2=33

b) 3x2+(√5−1)x−4+√5=03x2+5−1x−4+5=0

Ta có a=3,b=√5−1,c=−4+√5a=3,b=5−1,c=−4+5

Vì a−b+c=3−(√5−1)−4+√5=0a−b+c=3−5−1−4+5=0 nên phương trình có hai nghiệm là:

x₁ = –1 và x2=−ca=4−√53x2=−ca=4−53.

Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = –1 và x2=4−√53x2=4−53

c) 2x2−3√5x+5=02x2−35x+5=0

Gọi nghiệm thứ nhất của phương trình là x1=√5x1=5

Theo định lý Viète, ta có:

x1x2=ca=52x1x2=ca=52 hay √5.x2=525.x2=52 , suy ra x2=52√5=√52x2=525=52

Vậy phương trình có hai nghiệm là x1=√5x1=5 và x2=√52

Bài tập 6.18 (trang 13):

Tìm hai số u và b, biết:

a) u + v = 17, uv = 72;  

b) u² +v² = 73, uv = 24.

Bài giải chi tiết: 

a) u + v = 17 nên u = 17 – v.

Cặp số cần tìm là hai nghiệm của phương trình

x² – (u + v)x + uv = 0 hay x² – 17x + 72 = 0.

Xét phương trình trên ta có:

A = 1, b = –17, c = 72.

∆ = (–17)² – 4 . 1 . 72 = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=−b+√Δ2a=−(−17)+√12.1=9x1=−b+Δ2a=−−17+12.1=9

x2=−b−√Δ2a=−(−17)−√12.1=8x2=−b−Δ2a=−−17−12.1=8

Vậy hai số cần tìm là 9 và 8.

b) u² + v² = 73, uv = 24

Ta có: u² + v²  + 2uv = 73 + 2 . 24  hay (u + v)² = 121

Suy ra u + v = 11 hoặc u + v = –11.

● TH1: u + v = 11.

Cặp số cần tìm là hai nghiệm của phương trình

x² – (u + v)x + uv = 0 hay x² – 11x + 24 = 0.

Xét phương trình x² – 11x + 24 = 0 có: a = 1, b = –11, c = 24.

Vì ∆ = (–11)² – 4 . 1 . 24 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=−b+√Δ2a=−(−11)+√252.1=8x1=−b+Δ2a=−−11+252.1=8

x2=−b−√Δ2a=−(−11)−√252.1=3x2=−b−Δ2a=−−11−252.1=3

Vậy hai số cần tìm là 8 và 3.

● TH2: u + v = –11.

Cặp số cần tìm là hai nghiệm của phương trình

x² – (u + v)x + uv = 0 hay x² + 11x + 24 = 0.

Xét phương trình x² + 11x + 24 = 0 có a = 1, b = 11, c = 24.

Vì ∆ = 11² – 4 . 1 . 24 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=−b+√Δ2a=−11+√252.1=−3x1=−b+Δ2a=−11+252.1=−3

x2=−b−√Δ2a=−11−√252.1=−8x2=−b−Δ2a=−11−252.1=−8

Vậy hai số cần tìm là –8 và –3.

Bài tập 6.19 (trang 13): 

Dùng định lí Viète, tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) x² – 8x + 15 = 0;       

b) x² + 5x + 6 = 0.

Bài giải chi tiết: 

a) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² – 8x + 15 = 0, ta có:

x1+x2=−ba=−−81=8x1+x2=−ba=−−81=8

x1x2=ca=151=15x1x2=ca=151=15

Vậy hai nghiệm của phương trình đã cho là x = 3 và x = 5.

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² + 5x + 6 = 0, ta có:

x1+x2=−ba=−51=−5x1+x2=−ba=−51=−5

x1x2=ca=61=6x1x2=ca=61=6

Vậy hai nghiệm của phương trình đã cho là x = –2 và x = –3.

Bài tập 6.20 (trang 13): 

Cho phương trình bậc hai (ẩn x): x² – 4x + m – 2 = 0.

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.

b) Với các giá trị m tìm được ở câu a, gọi x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau theo m:

A = x₁² + x₂²; B = x₁³ + x₂³.

Bài giải chi tiết: 

a) x² – 4x + m – 2 = 0

Ta có: a = 1, b = –4, c = m – 2.

∆ = b² – 4ac = (–4)² – 4 . 1 . (m – 2) = 16 – 4m + 8 = 24 – 4m

Để phương trình có nghiệm thì ∆ ≥ 0 hay 24 – 4m ≥ 0.

Suy ra 24 ≥ 4m nên m ≤ 6.

Vậy phương trình có nghiệm khi m ≤ 6.

b) Theo định lý Viète, ta có:

x1+x2=−ba=−−41=4x1+x2=−ba=−−41=4

x1x2=ca=m−21=m−2x1x2=ca=m−21=m−2

Do đó: A = x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂

= 4² – 2(m – 2) = 16 – 2m + 4 = 20 – 2m

B = x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3x₁x₂(x₁ + x₂)

= 4³ – 3 . 4 . (m – 2) = 64 – 12m + 24 = 88 – 12m.

Vậy A = 20 – 2m và B = 88 – 12m.

Bài tập 6.21 (trang 13): 

Giả sử phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm là x₁, x₂ đều khác 0. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 1x11x1 và 1x21x2

Bài giải chi tiết: 

Bài tập 6.22 (trang 13): 

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm là x₁, x₂ thì đa thức ax² + bx + c có thể phân tích được thành nhân tử như sau

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

Áp dụng: Hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2x² – 9x + 7;

4x2+(√2−3)x−7+√2

Bài giải chi tiết: 

Áp dụng định lý Viète, ta có: x1+x2=−ba; x1x2=cax1+x2=−ba; x1x2=ca

Do đó: a(x−x1)(x−x2)=a[x2−x(x1+x2)+x1x2]ax−x1x−x2=ax2−xx1+x2+x1x2

=a[x2−(−ba)x+ca]=ax2+bx+c=ax2−−bax+ca=ax2+bx+c (đpcm)

Áp dụng:

● Xét phương trình 2x² – 9x + 7 có a = 2, b = –9, c = 7.

Ta thấy a + b + c = 2 + (–9) + 7 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là x₁ = 1 và x2=ca=72x2=ca=72.

Khi đó ta có 2x2−9x+7=2(x−1)(x−72)2x2−9x+7=2x−1x−72.

● Xét phương trình 4x2+(√2−3)x−7+√24x2+2−3x−7+2 có a=4,b=√2−3,c=−7+√2.a=4 , b=2−3 ,  c=−7+2.

Ta thấy a−b+c=4−(2−√3)+(−7+√2)=0a−b+c=4−2−3+−7+2=0 nên phương trình có hai nghiệm là x₁ = –1 và x2=−ca=−−7+√24x2=−ca=−−7+24.

Khi đó ta có 4x2+(√2−3)x−7+√2=4(x+1)(x−−7+√24)4x2+2−3x−7+2=4x+1x−−7+24.

Bài tập 6.23 (trang 13): 

Tìm m để phương trình x² + 4x + m = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thoả mãn x₁² + x₂² = 10.

Bài giải chi tiết: 

Xét phương trình x² + 4x + m = 0 có: a = 1, b = 4, c = m

∆ = b² – 4ac = 4² – 4 . 1 . m = 16 – 4m

Phương trình có hai nghiệm khi ∆ > 0 hay 16 – 4m > 0, suy ra m < 4.

Gọi hai nghiệm của phương trình là x₁ và x₂. Theo định lý Viète ta có:

x1+x2=−ba=−41=−4x1+x2=−ba=−41=−4

x1x2=ca=m1=mx1x2=ca=m1=m

Ta có: (x₁ + x₂)² = (–4)²

x₁² + x₂² + 2x₁x₂ = 16

10 + 2m = 16

2m = 6

m = 3 (thỏa mãn)

Vậy với m = 3 thì phương trình đã cho có hai nghiệm x₁, x₂ thoả mãn x₁² + x₂² = 10.

Bài tập 6.24 (trang 14): 

Bác Long có 48 mét lưới thép. Bác muốn dùng để rào xung quanh một mảnh đất trống (đủ rộng) thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.

a) Biết diện tích của mảnh vườn là 108 m², hãy tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

b) Hỏi diện tích lớn nhất của mảnh vườn mà bác Long có thể rào được là bao nhiêu mét vuông?

Bài giải chi tiết: 

a) Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là x (m) và y (m) (0 < x < y).

Bác Long có 48 mét lưới thép nên ta có:

2(x + y) = 48 hay x + y = 48 : 2 = 24 (m).

Diện tích mảnh vườn là 108 m² nên ta có xy = 108 (m²)

Do đó x và y là nghiệm của phương trình x² – 24x + 108 = 0.

Xét phương trình x² – 24x + 108 = 0 có a = 1, b = –24, c = 108.

Vì ∆ = b² – 4ac = (–24)² – 4 . 1 . 108 = 144 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là 6 m  và 18 m.