BÀI 28: ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP CỦA MỘT TAM GIÁC

Bài tập 9.8 (trang 53):

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng = 50°, = 70°, tính số đo các cung nhỏ , , của đường tròn (O). 

Bài giải chi tiết: 

● Xét đường tròn (O), ta có:

− Góc nội tiếp ACB chắn cung nhỏ nên

sđ = 2 = 2 . 50° = 100°

− Góc nội tiếp ABC chắn cung nhỏ nên 

sđ = 2 = 2 . 70° = 140°

● Xét tam giác ABC có

+  +  = 180° (định lí tổng ba góc trong một tam giác) 

= 180° − - = 180°−70°−50° = 60°

Góc nội tiếp ABC chắn cung nhỏ nên 

sđ = 2  = 2 . 60° = 120°

Vậy sđ = 100°, sđ = 140°, sđ = 120°

Bài tập 9.9 (trang 53):

Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O). Tính số đo các góc của tam giác ABC, biết rằng = 100°. 

Bài giải chi tiết: 

Do góc BAC là góc nội tiếp và BOC là góc ở tâm của đường tròn (O) chắn cung nhỏ nên  =   =  = 50°

Do tam giác ABC cân tại A nên:

=  =  180° - ) =  180° - 50°) = 65°

Vậy  = 50°,  =  = 65°

Bài tập 9.10 (trang 53):

Tính bán kính và chu vi của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có ba cạnh AB = 6 cm, AC = 8 cm và BC =10 cm.

Bài giải chi tiết: 

Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta thấy: 6² + 8² = 10² hay AB² + AC² = BC².

Theo định lí Pythagore đảo thì tam giác ABC vuông tại đỉnh A.

Do đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O là trung điểm của BC và bán kính là R = =  = 5 (cm) 

Vậy chu vi đường tròn ngoại tiếp đó là C=2πR=2π.5=10π≈31,4C=2πR=2π.5=10π≈31,4(cm).

Bài tập 9.11 (trang 53):

Tính chu vi và diện tích của tam giác đều nội tiếp một đường tròn bán kính 3 cm.

Bài giải chi tiết: 

Gọi a và h lần lượt là độ dài cạnh và chiều cao của tam giác đều, r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đều.

Ta có  h = r hay  h = 3
Suy ra h = 4,5 (cm).

Khi đó a = r  hay a = 3 nên a = 3 (cm) 

Chu vi của tam giác là:

C=3a=3.3√3=9√3C=3a=3.33=93 (cm)

Diện tích của tam giác là:

S = ah =  . 4,5 =  (cm²)

Vậy chu vi tam giác đó là 9cm và diện tích tam giác đó là  cm²

Bài tập 9.12 (trang 53):

Tính chu vi và diện tích của tam giác đều ngoại tiếp một đường tròn bán kính 3 cm.

Bài giải chi tiết: 

Gọi a và h lần lượt là độ dài cạnh và chiều cao của tam giác đều, r là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều.

Ta có  h = r hay  h = 3
Suy ra h = 9 (cm)

Khi đó a = r hay  a = 3

Suy ra a = 6√3a = 63(cm).

Chu vi của tam giác là:

C=3a=3.6√3=18√3C=3a=3.63=183 (cm)

Diện tích của tam giác là:

S= ah=12.6√3.9=27√3S=12ah=12.63.9=273 (cm²)

Vậy chu vi tam giác đó là 18√3183cm và diện tích tam giác đó là 27√3273cm².

Bài tập 9.13 (trang 53):

Cho tam giác ABC vuông tại Acó AB = 4 cm, AC = 6 cm. Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Bài giải chi tiết: 

Theo định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² =AB² + AC² = 4² + 6² = 52, hay BC = 2√13213(cm).

Diện tích của tam giác ABC là

S = AB . AC =  . 4 . 6 = 12 (cm²)

Gọi (I; r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có:

S = + + = r (BC + CA + AB) 

Suy ra r =  =  =  (cm) 

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r = cm. 

Bài tập 9.14 (trang 53):

Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 2 cm. Biết rằng AC = 2 cm, tính số đo các góc của tam giác ABC.

Bài giải chi tiết: 

Do tam giác ABC vuông tại A nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh BC.

Do đó tam giác AOC có: OA = OC = AC = 2 cm.

Suy ra tam giác AOC là tam giác đều.

Từ đó ta có

Vì vậy

Mặt khác, góc nội tiếp ABC và góc ở tâm AOC của (O) cùng chắn cung nhỏ  nên  =  = 30°

Tam giác ABC vuông tại A nên  = 30°

Vậy , ,

Bài tập 9.15 (trang 53):

Cho tam giác ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng:

a)  -

b)  =

Bài giải chi tiết: 

Vì góc nội tiếp BAC và góc ở tâm BOC của (O) cùng chắn cung nhỏ  (1) nên

=  (1) 

Mặt khác, vì tam giác BOC cân tại O nên