BÀI 4: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

1. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG

Hoạt động 1 trang 23 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tính diện tích của nền nhà có bản vẽ sơ lược như Hình 1 theo những cách khác nhau, biết a = 5 b = 3.5 (các kích thước tính theo mét).

Tính theo cách nào nhanh hơn?

Giải nhanh:

Cách 1: Tính tổng diện tích các hình.

Diện tích hình chữ nhật chiều dài a (m) và chiều rộng b – 1 (m) là: a(b – 1) (m²).

Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng b (m) là: ab (m²).

Diện tích hình chữ nhật có chiều dài a (m) và chiều rộng 4,5 (m) là: 4,5a (m²).

Diện tích của nền nhà là: S = a(b – 1) + ab + 4,5a (m²).

Với a = 5 và b = 3,5 ta có:

S = 5.(3,5 – 1) + 5.3,5 + 4,5.5   = 52,5 (m²).

Cách 2: Tính chiều dài của nền nhà rồi tính diện tích của nền nhà.

Chiều dài của nền nhà là: b – 1 + b + 4,5 = 2b + 3,5 (m).

Diện tích của nền nhà là: S = a.(2b + 3,5) (m²).

S = 5.(2.3,5 + 3,5) = 5 . 10,5 = 52,5 (m²).

Thực hành 1 trang 24 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) P = 6x – 2x³                           b) Q = 5x³ – 15x²y          c) R = 3x³y³ – 6xy³z + xy 

Giải nhanh:

a) P = 6x – 2x³  = 2x.3 – 2x.x² = 2x.( + x).( - x) 

b) Q = 5x³ – 15x²y   = 5x²(x – 3y).

c) R = 3x³y³ – 6xy³z + xy  = xy.(3x²y² – 6y²z + 1).

2. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC

Hoạt động 2 trang 24 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tìm biểu thức thích hợp thay vào mỗi chỗ ?

a) 4x²−9=(?)²−(?)²=(2x−3)(2x+3)     b) x²y²−y²=(?)²−(?)²=(xy−y)( xy+y)

Giải nhanh:

a) 4x²−9=(2x)²−(3)²=(2x−3)(2x+3)b) x²y²−y²=(xy)²−(y)²=(xy−y)( xy+y)

Thực hành 2 trang 24 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 9x² – 16                   b) 4x² – 12xy + 9y²          c) t³ – 8                 d) 2ax³y³ + 2a

Giải nhanh:

a) 9x² – 16 = (3x)² – 4² = (3x – 4)(3x + 4).

b) 4x² – 12xy + 9y² = (2x – 3y)².

c) t³ – 8 = t³ – 2³ = (t – 2)(t² + 2t + 4).

d) 2ax³y³ + 2a = 2a.[(xy)³ + 1³] = 2a(xy + 1)(x²y² – xy + 1).

Vận dụng 1 trang 24 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Tìm một hình hộp chữ nhật có thể tích $2x^{3}-18x$ (với x > 3) mà độ dài các cạnh đều là biểu thức chứa x

Giải nhanh:

2x³ – 18x = 2x(x² – 9)  = 2x(x – 3)(x + 3)

Vận dụng 2 trang 24 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Giải đáp câu hỏi trang 23

Giải nhanh:

Ta có: 99³ – 99 = 99.(99² – 1) = 99.98.100

Ta có: n³ – n = n(n² – 1) = n.(n – 1).(n + 1)

Vậy phát biểu của cả hai bạn đều đúng.

3. PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ

Hoạt động 3 trang 24 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Giải nhanh:

a² + ab + 2a + 2b = a(a + b) + 2(a + b) = (a + b)(a + 2).

Thực hành 3 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) a³ – a²b + a – b            b) x² – y² + 2y – 1

Giải nhanh:

a) a³ – a²b + a – b = (a³ – a²b) + (a – b) = a²(a – b) + (a – b) = (a – b)(a² + 1).

b) x² – y² + 2y – 1 = x² – (y² – 2y + 1) = x² – (y – 1)² = (x + y – 1)(x – y + 1).

Vận dụng 3 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Có thể ghép bốn tấm pin mặt trời với kích thước như  Hình 2 thành một hình chữ nhật không? Nếu có, tính độ dài các cạnh và diện tích hình chữ nhật đó. Biết a = 0,8; b = 2 (các kích thước tính theo mét).

Giải nhanh:

Diện tích tấm pin hình vuông có cạnh bằng a là: a² (m²).

Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài 1 và chiều rộng a là: a.1 = a (m²).

Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài b và chiều rộng a là: ab (m²).

Diện tích tấm pin hình chữ nhật có chiều dài b và chiều rộng 1 là: b.1 = b (m²).

Tổng diện tích bốn tấm pin:

S = a² + a + ab + b  = (a + 1)(a + b) (m²).

Với a = 0,8 (m) và b = 2 (m) ta có:

+ Chiều rộng hình chữ nhật đó là 0,8 + 1 = 1,8 (m).

+ Chiều dài hình chữ nhật đó là 0,8 + 2 = 2,8 (m).

+ Diện tích hình chữ nhật đó là: 1,8 . 2,8 = 5,04 (m²).

BÀI TẬP CUỐI SGK 

Bài tập 1 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x³ + 4x    b) 6ab – 9ab²         c) 2a(x – 1) + 3b(1 – x)   d) (x – y)² 

Giải nhanh:

a) x³ + 4x = x.x² + x.4 = x(x² + 4).

b) 6ab – 9ab² = 3ab.2 – 3ab.3b = 3ab(2 – 3b).

c) 2a(x – 1) + 3b(1 – x) = (x – 1)(2a – 3b).

d) (x – y)² – x(y – x)= (x – y)(2x – y).

Bài tập 2 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 4x² – 1              b) (x + 2)² – 9        c) (a + b)² – (a – 2b)²

Giải nhanh:

a) 4x² – 1 = (2x)² – 1² = (2x + 1)(2x –1).

b) (x + 2)² – 9 = (x + 2)² – 3² = (x + 5)(x – 1).

c) (a + b)² – (a – 2b)² = (2a – b).3b.

Bài tập 3 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 4a² + 4a + 1       b) –3x² + 6xy – 3y²         c) (x + y)² – 2(x + y)z + z²

Giải nhanh:

a) 4a² + 4a + 1 = (2a + 1)².        b) –3x² + 6xy – 3y²= –3(x – y)².

c) (x + y)² – 2(x + y)z + z²= (x + y – z)².

Bài tập 4 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 8x³ – 1     b) x³ + 27y³            c) x³ – y⁶

Giải nhanh:

a) 8x³ – 1 = (2x – 1)(4x² + 2x + 1).

b) x³ + 27y³ = (x + 3y)(x² – 3xy + 9y²).

c) x³ – y⁶ = (x – y²)(x² + xy² + y⁴).

Bài tập 5 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 4x³ – 16x          b) x⁴ – y⁴         c) xy² + x²y + y³                    d) x² + 2x – y² + 1

Giải nhanh:

a) 4x³ – 16x = 4x(x + 2)(x – 2).

b) x⁴ – y⁴ = (x² + y²)(x + y)(x – y).

c) xy² + x²y + y³ =y(x+y)²

d) x² + 2x – y² + 1 = (x + 1 + y)(x + 1 – y).

Bài tập 6 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x² – xy + x – y            b) x² + 2xy – 4x – 8y

Giải nhanh:

a) x² – xy + x – y = (x – y)(x + 1).

b) x² + 2xy – 4x – 8y = (x +  2y)(x – 4).

c) x³ – x² – x + 1 = (x – 1)²(x + 1).

Bài tập 7 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho y > 0. Tìm độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng 49y² + 28y + 4

Giải nhanh:

Giả sử hình vuông có độ dài cạnh bằng a (a > 0), khi đó diện tích của hình vuông là a². Tức là 49y² + 28y + 4 = a².

Ta phân tích đa thức 49y² + 28y + 4 thành nhân tử có dạng a².

49y² + 28y + 4 = (7y + 2)²

Vậy độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng 49y² + 28y + 4 là 7y + 2.