BÀI 4: HÌNH BÌNH HÀNH - HÌNH THOI

1. HÌNH BÌNH HÀNH

Hoạt động 1 trang 73 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Hình la là hình ảnh của một thước vẽ truyền dùng để phóng to hay thu nhỏ một hình vẽ có sẵn. Dùng thước đo góc để đo số đo của các cặp góc A1 và D, C1 và D của tứ giác ABCD (Hình 1b) rồi rút ra nhận xét về mối quan hệ giữa các cặp cạnh AB và CD; AD và BC.

Giải nhanh:

+ = và hai góc này ở vị trí đồng vị nên AB // CD.

+ = và hai góc này ở vị trí đồng vị nên AD // BC.

Hoạt động 2 trang 74 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối song song. Gọi Q là giao điểm của hai đường chéo. Hãy chứng tỏ:

- Tam giác ABC bằng tam giác CDA.

- Tam giác OAB bằng tam giác OCD.

Giải nhanh:

+ Tứ giác ABCD có AB // DC và AD // BC.

Từ AB // DC suy ra = (so le trong); (so le trong).

Từ AD // BC suy ra =  (so le trong).

Xét ABC và CDA có: = ; AC chung; =  

Do đó ABC = CDA (g.c.g).

+ Do ABC = CDA nên AB = CD 

Xét OAB và OCD có: = ; AB = CD; (cmt)

Do đó OAB = OCD (g.c.g).

Thực hành 1 trang 74 sgk Toán 8 tập 1 CTST

 Cho hình bình hành PQRS với I là giao điểm của hai đường chéo (Hình 4). Hãy chỉ ra các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau có trong hình.

Đáp án:

+ Các đoạn thẳng bằng nhau: PQ = RS; PS = QR; IP = IR; IS = IQ.

+ Các góc bằng nhau:

 =;=; =;=;=; =; =;=; =

Vận dụng 1 trang 74 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Mắt lưới của một lưới bóng chuyền có dạng hình tứ giác có các cạnh đối song song. Cho biết độ dài hai cạnh của tứ giác này là 4 cm và 5 cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại.

Giải nhanh:

Giả sử AB = 4 cm, AD = 5 cm. Do đó CD = AB = 4 cm; BC = AD = 5 cm.

Vận dụng 2 trang 74 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Mặt trước của một công trình xây dựng được làm bằng kính có dạng hình bình hành EFGH với M là giao điểm của hai đường chéo (Hình 6). Cho biết EF = 40 m, EM = 36 m, HM = 16 m. Tính độ dài cạnh HG và độ dài hai đường chéo.

Giải nhanh:

+ HG = EF = 40 m;

+ M là trung điểm của EG nên EG = 2EM = 2.36 = 72 (m);

+ M là trung điểm của FH nên FH = 2MH = 2.16 = 32 (m).

Thực hành 2 trang 76 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Trong các tứ giác ở Hình 9, tứ giác nào không là hình bình hành

Giải nhanh:

tứ giác RSTU không là hình bình hành.

Vận dụng 3 trang 76 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Quan sát Hình 10, cho biết ABCD và AKCH đều là hình bình hành. Chứng minh ba đoạn thẳng AC, BD và HK có cùng trung điểm O.

Giải nhanh:

Xét hình bình hành ABCD có: AC và BD cắt nhau tại trung điểm O 

Xét hình bình hành AKCH có: AC và HK cắt nhau tại trung điểm O

Vậy ba đoạn thẳng AC, BD và HK có cùng trung điểm O.

2. HÌNH THOI

Hoạt động 4 trang 76 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Hình 11a là hình chụp tấm lưới thép được đan thành nhiều mắt. Hình 11b là hình vẽ phóng to của một mặt lưới. Đo độ dài các cạnh của tứ giác ABCD và rút ra nhận xét.

Giải nhanh:

AB = BC = CD = DA.

Hoạt động 5 trang 77 sgk Toán 8 tập 1 CTST

a) Chứng minh Hình thoi có là hình bình hành

b) Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh bốn tam giác OAB, OCB, OCD, OAD bằng nhau

Giải nhanh:

a) Hình thoi 4 cạnh bằng nhau AB = BC = CD = DA => AB = CD và AD = BC.

Do đó hình thoi cũng là hình bình hành.

b) Theo câu a, OA = OC và OB = OD.

Xét OAB và OAD có: OA là cạnh chung; OB = OD; AB = AD

Do đó OAB = OAD (c.c.c) (1)

cmtt ta cũng có OCB = OCD (c.c.c) (2)

Xét OAB và OCD có: OA = OC;  = (đối đỉnh); OB = OD.

 Do đó OAB = OCD (c.g.c) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: OAB = OAD = OCD = OCB.

Thực hành 3 trang 78 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình thoi MNPQ có I là giao điểm của hai đường chéo.

a) Tính MP khi biết MN = 10 dm, IN = 6 dm

b) Tính IMN khi biết MNP=128∘

Giải nhanh:

Do MNPQ là hình thoi. Mà tại I.

vuông tại I:  = 8 (dm).

Do I là trung điểm của MP nên MP = 2MI = 2.8 = 16 (dm).

b)

Vì MNPQ là hình thoi nên MQ // NP

Do đó += 180°. Suy ra = 180°− =180° − 128° = 52°

Do MNPQ là hình thoi nên MP và tia phân giác của góc NMQ.

Suy ra .52° = 26°

Vận dụng 4 trang 78 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tính độ dài cạnh của các khuy áo hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là 3.2 cm và 2.4 cm

Giải nhanh:

và

vuông tại O: =>  (cm).

Hoạt động 6 trang 78 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho ABCD là một hình bình hành. Giải thích tại sao tứ giác ABCD có bốn cạnh bằng nhau trong mỗi trường hợp sau:

Trường hợp 1: AB = AD.

Trường hợp 2: AC vuông góc với BD.

Trường hợp 3: AC là phân giác góc BAD.

Trường hợp 4: BD là phân giác góc ABC.

Giải nhanh:

+ Trường hợp 1: AB = AD.Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AB = CD. Lại có AB = AD (gt) Do đó AB = AD = BC = CD.

+ Trường hợp 2: AC vuông góc với BD.

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC, AB = CD và hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Xét OAB và OCB có: OB là cạnh chung; OA = OC

Do đó OAB = OCB (hai cạnh góc vuông) Suy ra AB = CB 

Mà AD = BC và AB = CD nên AB = CD = CB = DA.

+ Trường hợp 3: AC là đường phân giác góc BAD.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD

Do đó = Mà =  Suy ra =

Xét tam giác ACD có:  =>Tam giác ACD cân tại D Suy ra DA = DC.

Lại có AB = CD và AD = BC (cmt). Do đó AB = BC = CD = DA.

+ Trường hợp 4: BD là đường phân giác góc ABC: cmtt TH3

Vận dụng 5 trang 79 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Một hoa văn trang trí được ghép bởi ba hình tứ giác có độ dài mỗi cạnh đều bằng 2 cm (Hình 18). Gọi tên các tứ giác này và tính chu vi của hoa văn

Giải nhanh:

Chu vi của một hình thoi là: 4.2 = 8 (cm).  Chu vi của hoa văn là: 3.8 = 24 (cm).

Vận dụng 6 trang 79 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Một tứ giác có chu vi là 52 cm và một đường chéo là 24 cm. Tìm độ dài của mỗi cạnh và đường chéo còn lại nếu hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường.

Giải nhanh:

Độ dài cạnh của hình thoi ABCD là: 52: 4 = 13 (cm).

Giả sử đường chéo AC = 24 cm và O là giao điểm hai đường chéo.

Ta có O là trung điểm của AC nên OA = OC = 12 cm.

vuông tại O: AB² = OA² + OB² =>OB =  

Do O là trung điểm của BD nên (cm).

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cần thêm một điều kiện gì để mỗi tứ giác trong Hình 19 trở thành hình bình hành?

Giải nhanh:

a) Ta có mà hai góc này ở vị trí so le trong  AB // CD.

Để tứ giác ABCD là hình bình hành thì có hai trường hợp sau:

+) Trường hợp 1: cần thêm điều kiện AD // BC.

+) Trường hợp 2: cần thêm điều kiện AB = CD.

b) Xét tứ giác EFGH có: EH = GF (gt)

Để tứ giác EFGH là hình bình hành thì có hai trường hợp sau:

+) Trường hợp 1:  cần thêm điều kiện EF = GH.

+) Trường hợp 2:  cần thêm điều kiện EH // GF.

c) Ta có OQ = ON O là trung điểm của NQ. Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì tứ giác MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó cần thêm điều kiện O là trung điểm của MP.

d) Xét tứ giác STUV có: =. Để tứ giác STUV là hình bình hành thì tứ giác STUV có các cặp góc đối bằng nhau. Do đó cần thêm điều kiện =.

Bài tập 2 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình bình hành ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H và CK vuông góc với BD tại K (Hình 21)

a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành

b) Gọi I là trung điểm của HK. Chứng minh IB = ID

Giải nhanh:

a) Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC.

Do AD // BC nên (so le trong)

Xét ADH và CBK có: ==90°;AD = BC; =

Do đó ADH = CBK Suy ra AH = CK 

Ta có và nên .

Tứ giác AHCK có và AHCK là hình bình hành (DHNB).

b) Do AHCK là hình bình hành (câu a)  nên hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.Mà I là trung điểm của HK (gt)  nên I là trung điểm của AC. Do ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BD, hay IB = ID.

Bài tập 3 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm AD, F là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng tứ giác EBFD là hình bình hành.

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng ba điểm E, O, F thẳng hàng

Giải nhanh:

a) ABCD là hình bình hành

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED; F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có: DE // BF; DE = BF Nên EBFD là hình bình hành (DHNB).

b) Ta có: O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD 

O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành  BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Bài tập 4 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F.

a) Chứng minh rằng DE // BF.

b) Tứ giác DEBF là hình gì ?

Giải nhanh:

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

Vì DE là phân giác D nên = = ; Vì BF là phân giác B nên  = =

Do đó  =  Do AB // CD nên =  (so le trong). Suy ra = 

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DE // BF.

b) Tứ giác DEBF có: nên DEBF là hình bình hành 

Bài tập 5 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, E và F là giao điểm của AK và CI với BD.

a) Chứng minh tứ giác AKCI là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng DE = EF = FB.

Giải nhanh:

a) Do ABCD là hình bình hành

I trung điểm AB nên K trung điểm CD nên

Do đó AI = CK.

Xét tứ giác AICK có: AICK là hình bình hành Suy ra AK // CI hay AE // IF.

Xét tứ giác AEFI có: AE // IF AEIF là hình thang.

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD.

Do đó O là trung điểm của AC và BD.

Xét ABC có:BO, CI là hai đường trung tuyến của tam giác  Mà

F là trọng tâm của ABC.Suy ra và

Chứng minh tương tự đối với ACD ta cũng có E là trọng tâm của DACD.

Suy ra và EO= DO Lại có O là trung điểm BD nên BO = DO.

Do đó và

Mặt khác

Suy ra

Bài tập 6 trang 81 sgk Toán 8 tập 1 CTST: Cho hình 21. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình thoi

Giải nhanh:

Ta có AE = EB nên AB = 2AE ; DG = GC nên DC = 2DG.

Mà AE = DG nên AB = DC.

Chứng minh tương tự ta cũng có: AD = BC.

Tứ giác ABCD có AB = DC và AD = BC nên là hình bình hành (DHNB).

Suy ra và .

Lại có nên ; ;

Xét AEH và BEF có: =90°;AE = BE; AH = BF

Do đó AEH = BEF (hai cạnh góc vuông). Suy ra HE = FE 

cmtt: Do đó

Tứ giác EFGH có nên là hình thoi.

Bài tập 7 trang 81 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Biết AC = 6 cm, BD = 8 cm. Tính độ dài cạnh của hình thoi ABCD.

Giải nhanh:

Do ABCD là hình thoi AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Do đó và

OAB vuông tại O: => AB= =5(cm)

Bài tập 8 trang 81 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho tam giác ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D đối xứng với điểm A qua BC.

a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi.

b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC, lấy điểm O sao cho E là trung điểm của OM. Chứng minh hai tam giác AOB và MBO vuông và bằng nhau

b) Chứng minh tứ giác AEMF là hình thoi.

Giải nhanh:

a) Ta có D đối xứng với A qua BC nên M là trung điểm của AD và AD ⊥ BC.

Tứ giác ABDC có hai đường chéo AD và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ABDC là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo hình bình hành ABDC là hình thoi.

b) Ta có E là trung điểm của AB và OM nên hai đường chéo của tứ giác OAMB cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó tứ giác OAMB là hình bình hành.

Suy ra và

Ta có và nên , do đó MBO vuông tại B.

Ta có và nên , do đó AOB vuông tại O.

Do OAMB là hình bình hành nên OA = BM và OB = AM.

Xét MBO vuông tại B và AOB vuông tại O có: OB = AM; BM = OA

Do đó MBO = AOB 

c) => là trung điểm của và =>

Tương tự ta có

Ta có cân tại =>

Vậy Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Bài tập 9 trang 81 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tìm các hình bình hành và hình thang có trong Hình 22

Giải nhanh:

- hình bình hành: ABCD, AQGF.

- hình thang: AECD, AFMD, AFGP, AFMN, PDMG, QDMG, QNMG