BÀI 2. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

1. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

Bài 1: Cho tam giác ABC, vẽ đường thẳng d đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với cạnh BC và cắt AC tại N (Hình 1). Hãy chứng minh N là trung điểm của AC

Giải nhanh: 

Xét tam giác ABC có MN // BC: => N là trung điểm của AC

Bài 2:  Tìm độ dài đoạn thẳng NQ trong Hình 4

Giải nhanh: 

Ta có: mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên

Xét tam giác OPQ ta có: MN // PQ; M là trung điểm OP

⇒ MN là đường trung bình OPQ⇒ N là trung điểm OQ ⇒ NQ = ON = 4 

Bài 3: Trong Hình 5, chứng minh MN là đường trung bình của tam giác ABC

Giải nhanh: 

Xét tam giác ABC có: MN // AC, M là trung điểm AB suy ra MN là đường trung bình tam giác ABC

2. TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG TRUNG BÌNH

Bài 1: Cho M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC của tam giác ABC.

a) Tính các tỉ số ;

b) Chứng minh MN // BC

c) Chứng minh

Giải nhanh: 

a) Vì M là trung điểm AB suy ra  Tương tự,

b) Xét tam giác ABC có: =>

c) Xét tam giác ABC có MN // BC : 

Bài 2: Trong Hình 8, cho biết JK = 10 cm, DE = 6.5 cm, EL = 3.7 cm. Tính DJ, EF, DF, KL

Giải nhanh: 

D là trung điểm của JK suy ra

E là trung điểm của JL suy ra JL = 2EL = 2 . 3,7 = 7,4 (cm)

Trong tam giác JKL có: D, E lần lượt là trung điểm của JK và JL

 => DE là đường trung bình của tam giác JKL => KL = 2DE = 2 . 6,5 = 13 (cm)

Tương tự: EF là đường trung bình JKL =>

DF là đường trung bình tam giác JKL suy ra DF= JL= x 7,4 = 3,7 (cm)

Bài 3: Hãy tính khoảng cách BC trong phần HĐKĐ (trang 52)

Giải nhanh: 

Xét tam giác ABC có: D, E là trung điểm của AB và AC 

suy ra . Vậy BC = 2.DE = 90 (m)

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Cho MN là đường trung bình của mỗi tam giác ABC trong Hình 9. Hãy tìm giá trị x trong mỗi hình

Giải nhanh: 

a) MN là đường trung bình ta có: BC = 2 MN => x = 12

b) MN là đường trung bình ta có: BC = 2MN => 2x + 3 = 14 suy ra x =

c) MN là đường trung bình: BC = 2MN suy ra 58=2(5x−1)⇒58=10x−2⇒x=6

Bài 2: Tính độ dài đoạn PQ (hình 10)

Giải nhanh: 

Xét tam giác ABC có: PQ là đường trung bình nên

Bài 3: Cho biết cạnh mỗi ô vuông bằng 1 cm. Tính độ dài các đoạn PQ, PR, RQ, AB, BC, CA trong Hình 11

Giải nhanh: 

; 

Xét tam giác ABC có PQ là đường trung bình nên

Tương tự:  

Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB //CD) có E và F lần lượt là trung điểm hai cạnh bên AD và BC. Gọi K là giao điểm của AF và DC (Hình 12).

a) Tam giác FBA và tam giác FCK có bằng nhau không? Vì sao?

b) Chứng minh EF // CD // AB                    

c) Chứng minh

Giải nhanh: 

a) Xét tam giác FBA và FCK ta có: ; FB = FC (gt);  

Suy ra (g.c.g)

b) suy ra FA = FK

Xét tam giác ADK: EA = ED, FA = FK =>EF là đường trung bình nên

Mà suy ra

c) EF là đường trung bình tam giác ADK suy ra

Mà CK = BA nên

Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng tứ giác MNPH là hình thang cân.

Giải nhanh: 

Xét tam giác ABC ta có: M là trung điểm của AB; N là trung điểm của AC;

⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒MN//BC

⇒ Tứ giác MNPH là hình thang.

Xét tam giác ABC ta có M là trung điểm của AB; P là trung điểm của BC

⇒MP là đường trung bình của tam giác ABC ⇒MP= AC

ΔACH vuông tại H có HN là trung tuyến (N là trung điểm của AC)⇒NH= AC. Mà MP= AC(cmt) ⇒NH=MP

Hình thang MNPH (MN//PH) có MP=NH nên là hình thang cân.

Bài 6: Một mái nhà được vẽ lại như Hình 13. Tính độ dài x trong hình mái nhà.

Giải nhanh: 

Xét tam giác ABH có DE là đường trung bình: DE= AH⇒x= .2,8=1,4 (m)

Bài 7: Ảnh chụp từ Google Maps của một trường học được cho trong Hình 14. Hãy tính chiều dài cạnh DE, cho biết BC = 232 m và B, C lần lượt là trung điểm AD và AE

Giải nhanh: 

Xét tam giác ADE có BC là đường trung bình suy ra DE=2BC=2.232=464 (m)