BÀI 3: HÌNH THANG - HÌNH THANG CÂN                                   

1. HÌNH THANG - HÌNH THANG CÂN

Hoạt động 1 trang 68 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tứ giác ABCD (Hình 1b) là hình vẽ minh hoạ một phần của chiếc thang ở Hình la. Nêu nhận xét của em về hai cạnh AB và CD của tứ giác này?

Giải nhanh:

Hai cạnh AB và CD song song với nhau.

Thực hành 1 trang 69 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tìm các góc chưa biết của hình thang MNPQ có hai đáy là MN và QP trong mỗi trường hợp sau và nêu nhận xét của em

a) Q=90∘ và N=125∘                b) P=Q=110∘

Giải nhanh:

Xét hình thang MNPQ; là hình thang vuông

Ta có:

Xét hình thang MNPQ có: MNPQ là hình thang cân.

Suy ra

Vận dụng 1 trang 69 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Một mặt tường của chân tháp cột cờ Hà Nội có dạng hình thang cân ABCD (Hình 4). Cho biết Dˆ=Cˆ=75∘. Tìm số đo A và B

Giải nhanh:

 nên  

Vận dụng 2 trang 69 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tứ giác EFGH có các góc cho như Hình 5

a) Chứng minh rằng EFGH là hình thang

b) Tìm góc chưa biết của tứ giác

Giải nhanh:

a) Ta có Suy ra

Do đó Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên HE // GF (DHNB)

Xét tứ giác EFGH có:  HE // GF nên EFGH là hình thang (DHNB)

b) =>

2. TÍNH CHẤT CỦA HÌNH THANG CÂN

Hoạt động 3 trang 69 sgk Toán 8 tập 1 CTST

a) Cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AB và CD (AB > CD). Qua C vẽ đường thẳng song song với AD và cắt AB tại E (Hình 6a).

i) Tam giác CEB là tam giác gì? Vì sao?                ii) So sánh AD và BC.

b) Cho hình thang cân MNPQ có hai đáy là MN và PQ (Hình 6b). So sánh MP và NQ. Giải thích.

Giải nhanh:

a) +) Xét hình thang cân ABCD có

Vì CE // AD nên (đồng vị). Do đó

Xét có: nên là tam giác cân tại C.

+) Do cân tại C (cmt) nên CE = CB       (1)

Xét và có: ; DE là cạnh chung; .

Do đó (g.c.g) => (2)

Từ (1) và (2) ta có .

b) Vì MNPQ là hình thang cân suy ra MQ = NP.

Xét hình thang cân MNPQ (MN // QP) có:

Xét và có: MQ = NP; ;MN là cạnh chung.

Do đó (c.g.c) Suy ra NQ = MP (hai cạnh tương ứng).

Thực hành 2 trang 70 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tìm các đoạn thẳng bằng nhau trong hình thang cân MNPQ có hai đáy là MN và PQ

Giải nhanh:

+ MQ = NP                    + MP = NQ 

Vận dụng 3 trang 69 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Một khung cửa sổ hình thang cân có chiều cao 3m, hai đáy là 3m và 1m (Hình 9). Tìm độ dài hai cạnh bên và hai đường chéo

Giải nhanh:

Xét hình thang cân ABCD có: ; AD = BC; AC = BD 

Kẻ BK ⊥ DC. Ta có AB // DC và BK ⊥ DC Suy ra BK ⊥ AB  nên

Xét ∆AHK và ∆ABK có: ; AK chung; 

Do đó ∆AHK = ∆ABK Suy ra HK = BK = 1m 

Xét ∆AHD và ∆BKC có: ; AD = BC ; (cmt).

Do đó Suy ra  

Mà  Hay

Khi đó   và HC = 2 m.

  vuông H: (m).

vuông H: Do đó (m).

3. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH THANG CÂN

Hoạt động 3 trang 70 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB, CD và có hai đường chéo băng nhau (Hình 10). Vẽ đường thẳng đi qua C, song song với BD và cất AB tại E.

a) Tam giác CAE là tam giác gì? Vì sao?

b) So sánh tam giác ABD và tam giác BAC.

Giải nhanh:

a) Xét hình thang ABCD có:  AB // CD nên

Do DB // CE nên (so le trong).

Xét và có: (cmt);CB chung; (cmt).

Do đó (g.c.g). => BD = CE; Mà AC = BD (gt) Nên AC = CE.

Xét có:AC = CE  nên cân tại C.

b) Do cân tại C (câu a) nên (hai góc tương ứng).

Mặt khác DB // CE nên (đồng vị).Do đó

Xét và có: AB chung; (cmt); BD = AC (gt).

Do đó (c.g.c).

Thực hành 3 trang 71 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Sử dụng thước đo góc và thước đo độ dài để tìm hình thang cân trong các tứ giác ở Hình 12

Giải nhanh:

+) Hình 12aAB và Hình 12c) là hình thang cân.

Vận dụng 4 trang 71 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Mặt cắt của một li giấy đựng bỏng ngô có dạng hình thang cân MNPQ (Hình 13) với hai đáy MN = 6 cm, PQ = 10 cm và độ dài hai đường chéo $MN =NQ =8\sqrt{2}$ cm. Tính độ dài đường cao và cạnh bên của hình thang.

Giải nhanh:

+) MNPQ là hình thang cân nên:   

+) Ta có: (cmt) và (gt)

Suy ra hay

Xét và có: ; MK chung;

(do QP // MN) => (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra HK = NM = 6 cm (hai cạnh tương ứng).

+) Xét và có: ; ;

Do đó Suy ra  

Mà ; Hay

Khi đó    

Nên

+) MHP vuông tại H:

Suy ra Do đó MH = 8 cm.

vuông tại H, ta có:

Suy ra (cm).

BÀI TẬP CUỐI SGK 

Bài tập 1 trang 71 sgk Toán 8 tập 1 CTST Tìm x và y ở các hình sau

Giải nhanh:

a)

b) Hay

Do MN // PQ nên (hai góc so le trong) Hay

c) Ta có HG // IK nên tứ giác GHIK là hình thang.

Do đó    Hay 5x = 180° nên

d) Ta có và nên .

Do đó tứ giác STUV là hình thang; Suy ra

Nên hay , suy ra

Bài tập 2 trang 71 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho tứ giác ABCD có AB = CD, BD là tia phân giác góc B. Chứng minh ABCD là hình thang

Giải nhanh:

Xét tam giác ABD có: AB = AD Suy ra cân tại A (DHNB)

Suy ra (tính chất tam giác cân)

Vì BD là tia phân giác của góc B nên =>  

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Xét tứ giác ABCD có: AD // BC  Suy ra ABCD là hình thang.

Bài tập 3 trang 72 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Cho tam giác nhọn ABC có AH là đường cao. Tia phân giác của góc B cắt AC tại M. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AH cắt AB tại N.

a) Chứng minh rằng tứ giác BCMN là hình thang.

b) Chứng mình rằng BN = MN.

Giải nhanh:

a) Ta có nên => BCMN là hình thang.

b) Do (so le trong). Mà  Suy ra

Xét tam giác BMN có: BMN cân tại N Suy ra .

Bài tập 4 trang 72 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Trên BC lấy điểm E sao cho BE = BA.

a) Chứng minh rằng: ΔABD=ΔEBD

 

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng mình rằng tứ giác ADEH là hình thang vuông.

c) Gọi I là giao điểm của AH với BD, đường thẳng EI cắt AB tại F. Chứng minh rằng tứ giác ACEF là hình thang vuông.

Giải nhanh:

a) Xét và có: BA = BE; ; BD chung,

Do đó (c.g.c).

b) Do (câu a) nên (hai góc tương ứng).

Do đó Mà (gt) nên

=> ADEH là hình thang mà nên ADEH là hình thang vuông.

c) Do (câu a) nên AD = ED 

Do đó D nằm trên đường trung trực của AE.

Lại có BA = BE (gt) nên B nằm trên đường trung trực của AE.

Suy ra BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE  nên  hay

Xét có:  nên I là trực tâm của tam giác

Do đó hay Mà Suy ra .

Tứ giác ACEF có: nên ACEF là hình thang. Lại có

nên ACEF là hình thang vuông.

Bài tập 5 trang 72 sgk Toán 8 tập 1 CTST Tứ giác nào trong Hình 15 là hình thang cân

Giải nhanh:

Hình 15 b và c là hình thang cân 

Bài tập 6 trang 72 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình thang ABCD có AB // CD. Qua giao điểm E của AC và BD, ta vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại F và G (Hình 16). Chứng minh rằng EG là tia phân giác góc CEB.

Giải nhanh:

Do ABCD là hình thang cân nên  

Xét và có:AB chung; AD = BC (cmt); BD = AC (cmt).

Do đó (c.c.c) Suy ra  

Lại có (gt) EG là phân giác của .

Bài tập 7 trang 72 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Mặt bên của một chiếc vali (Hình 17a) có dạng hình thang cân và được vẽ lại như Hình 17b. Biết hình thang đó có độ dài đường cao là 60 cm, cạnh bên là 61 cm và đáy lớn là 92 cm. Tính độ dài đáy nhỏ

Giải nhanh:

Trong tam giác vuông ADE có:

Dựng

Xét và có: ; ;  

Do đó: (ch-gn) Suy ra  

Mà =>