Bài 1 trang 60 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Cho tứ giác ABCD có AB = BC và AC là tia phân giác của góc A. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang.

Giải

Ta có AB = BC nên ∆ABC cân tại B, $\Rightarrow \widehat{BAC} = \widehat{BCA} $

Mặt khác $\widehat{BAC} = \widehat{DAC}$ (do AC là tia phân giác của$ \widehat{BAD} $)

$\Rightarrow \widehat{BAC} = \widehat{DAC} $ mà 2 góc này ở vị trí so le trong

Do đó BC // AD.

Vậy tứ giác ABCD là hình thang.

Bài 2 trang 60 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Tứ giác ABCD có  $\widehat{A} + \widehat{D} = \widehat{B} + \widehat{C}$ .Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang.

Giải

Tứ giác ABCD có tổng 4 góc bằng 360° nên  $\widehat{A} +  \widehat{B} +  \widehat{C} +  \widehat{D} = 360^{\circ}$

Mà $\widehat{A} +  \widehat{D} =  \widehat{C} +  \widehat{B}$

Do đó $2.(\widehat{A} +  \widehat{D}) = 360^{\circ} $ hay $\widehat{A} +  \widehat{D}=180^{\circ}$

Suy ra AB // CD.

Vậy tứ giác ABCD là hình thang.

Bài 3 trang 60 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC một tam giác BCD vuông cân tại B. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

Giải

Ta có ∆ABC vuông cân tại A, ∆BCD vuông cân tại B suy ra $\widehat{B_{1}} = \widehat{C_{1}} = 45^{\circ}$

Vì $\widehat{B_{1}}$ và $\widehat{C_{1}} $ là hai góc ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Vậy tứ giác ABDC là hình thang.

Hình thang ABDC có $\widehat{A} = 90^{\circ}$ nên ABDC là hình thang vuông.

Bài 4 trang 60 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Hình thang ABCD (AB // CD) có $ \widehat{ACD} =\widehat{BDC}$. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.

Giải

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Trong ∆ECD, ta có $\widehat{C_{1}} = \widehat{D_{1}}$ nên ∆ECD cân tại E, suy ra EC = ED.(1)

Ta có: AB // CD nên

$\widehat{EBA} = \widehat{D_{1}}$ (hai góc so le trong);

$\widehat{EAB} = \widehat{C_{1}}$ (hai góc so le trong);

$\widehat{C_{1}} = \widehat{D_{1}}$ ( giả thiết)

Suy ra $\widehat{EBA}=\widehat{EAB}$ do đó ∆BEA cân tại E.

Nên AE = BE. (2)

Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AC = BD.

Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.

Bài 5 trang 60 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia AC lấy điểm N sao cho AM = AN. Chứng minh tứ giác MNBC là hình thang cân.

Giải

Xét ∆AMN có AM = AN (giả thiết).

Do đó ∆AMN cân tại A, suy ra $\widehat{M_{1}} = \frac{180^{\circ} - \widehat{A_{2}}}{2}$

Vì ∆ABC cân tại A nên $\widehat{B_{1}} = \frac{180^{\circ} - \widehat{A_{1}}}{2}$

Lại có $\widehat{A_{1}} = \widehat{A_{2}}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\widehat{B_{1}} = \widehat{M_{1}}$ 

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên MN // BC.

Vậy tứ giác MNBC là hình thang.(1)

Mặt khác, AB = AC; AM = AN.

Suy ra AB + AM = AC + AN, do đó MB = NC (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNBC là hình thang cân.

Bài 6 trang 60 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Cho tam giác ABC cân tại A, có hai đường cao là BE và CD (D ∈ AB, E ∈ AC). Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.

Giải

Do BE, CD là hai đường cao nên BE ⊥ AC, CD ⊥ AB.

Xét ∆BEC vuông tại E và ∆CDB vuông tại D, ta có:

BC là cạnh chung $\widehat{ECB} = \widehat{DBC}$ ( do ∆ABC cân tại A)

Do đó ∆BEC = ∆CDB (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra EC = BD (hai cạnh tương ứng)

Mà AC = AB nên AC ‒ EC = AB ‒ BD, hay AE = AD  

Do đó ∆ADE cân tại A suy ra $\widehat{ADE} =\widehat{AED} = \frac{180^{\circ} - \widehat{A}}{2}$ (1)

Vì ∆ABC cân tại A nên $\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \frac{180^{\circ} - \widehat{A}}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ADE} = \widehat{ABC}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE // BC

Suy ra tứ giác BDEC là hình thang.

Hìnhthang BDEC có $\widehat{DBC} = \widehat{ECB}$ nên là hình thang cân