Bài 1 trang 22 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a)$\frac{a-3b}{a+b}-\frac{5a+b}{a+b}$

b)$\frac{7a-b}{2a^{3}}+\frac{b-3a}{2a^{3}}$

c)$\frac{a^{2}}{(a-b)^{2}} - \frac{b^{2}}{(b-a)^{2}}$

d)$\frac{a^{2}+3}{a-2}-\frac{3a}{a-2}+\frac{a-1}{2-a}$

Giải

a)$\frac{a-3b}{a+b}-\frac{5a+b}{a+b}= \frac{a-3b-(5a+b)}{a+b}$

$= \frac{a-3b-(5a+b)}{a+b)} = \frac{-a-3b-5a-b}{a+b}$

$=\frac{-4a-4b}{a+b}=\frac{-4(a+b)}{a+b}=-4$

b) $\frac{7a-b}{2a^{3}}+\frac{b-3a}{2a^{3} }$

$= \frac{7a-b+b-3a}{2a^{3}}=\frac{4a}{2a^{3}}$

$=\frac{4a}{2a^{3}}=\frac{2a.2}{2a.a^{2}}=\frac{2}{a^{2}}$

c)$\frac{a^{2}}{(a-b)^{2}} - \frac{b^{2}}{(b-a)^{2}}$

$=\frac{a^{2}}{(a-b)^{2}} - \frac{b^{2}}{(a-b)^{2}} $

$= \frac{a^{2}-b^{2}}{(a-b)^{2}} = \frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^{2}}$

$=\frac{b^{2}}{(a-b)^{2}} = \frac{a+b}{a-b}$

d)$\frac{a^{2}+3}{a-2}-\frac{3a}{a-2}+\frac{a-1}{2-a}$

= $\frac{a^{2}+3}{a-2}-\frac{3a}{a-2}+\frac{1-a}{2-a}$

$= \frac{a^{2}+3-3a+1-a}{a-2}=\frac{a^{2}-4a+4}{a-2}$

$=\frac{(a-2)^{2}}{a-2} = a -2$

Bài 2 trang 22 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau:

a)$\frac{3a}{2x-1}$ và $\frac{3}{2x+1}$

b)$\frac{1}{xy+x}$ và $\frac{y}{xy-x}$

c)$\frac{xy}{2x+2y}$ và $\frac{x-y}{(x+y)^{2}}$

d)$\frac{1}{x-1};\frac{2x}{x+1}$ và $ \frac{1-2x}{x^{2}-1}$

Giải

a) Mẫu thức chung là (2x + 1)(2x – 1).

$\frac{3a}{2x-1} = \frac{3x(2x+1)}{(2x + 1)(2x – 1)}$;

$\frac{3}{2x+1} = \frac{3x(2x-1)}{(2x + 1)(2x – 1)}$

b) Ta có xy + x = x(y + 1) và xy ‒ x = x(y ‒ 1),nên mẫu thức chung là x(y + 1)(y ‒ 1).

$\frac{1}{xy+x}=\frac{1}{x(y+1)}=\frac{y-1}{x(y + 1)(y ‒ 1)}$;

$\frac{y}{xy-x}=\frac{1}{x(y-1)}=\frac{y+1}{x(y + 1)(y ‒ 1)}$ 

c) Ta có $2x + 2y = 2(x + y)$ và $(x + y)^{2} = (x + y)(x+ y)$

Do đó, mẫu thức chung là $2(x + y)^{2}$.

$\frac{xy}{2x+2y}=\frac{xy}{2(x+y)} = \frac{xy(x+y)}{2(x+y)(x+y)}=\frac{xy(x+y)}{2(x+y)^{2}}$;

$\frac{x-y}{(x+y)^{2}}$

d) Ta có $x^{2} ‒ 1 = (x + 1)(x ‒ 1)$. Do đó, mẫu thức chung là $(x + 1)(x ‒ 1)$.

$\frac{1}{x-1} = \frac{x+1}{(x + 1)(x ‒ 1)}$.;

$\frac{2x}{x+1}=\frac{1-2x}{(x + 1)(x ‒ 1)}$;

$ \frac{1-2x}{x^{2}-1} = \frac{1-2x}{(x + 1)(x ‒ 1)}$

Bài 3 trang 22 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\frac{x}{x+2} - \frac{x}{x-2}$

b)$\frac{3x}{2y} + \frac{5x}{3y}$

c)$\frac{y-1}{5} - \frac{3x-1}{15x}$

d)$\frac{1-x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}}$

e)$\frac{x-2y}{xy^{2}}- \frac{y-2x}{x^{2}y}$

g)$\frac{1-y^{2}}{3xy}+ \frac{2y^{3} -1}{6xy^{2}}$

Giải

a) $\frac{x}{x+2} - \frac{x}{x-2}=\frac{x(x-2)}{(x+x2)(x-x2)}-\frac{x(x+2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{x^{2}-2x-x^{2}-2x}{(x+2)(x-2)}$

b)$\frac{3x}{2y} + \frac{5x}{3y}=\frac{9x+10x}{6y}=\frac{19x}{6y}$

c)$\frac{y-1}{5} - \frac{3x-1}{15x}=\frac{(y-1).3x}{5y.3x}-\frac{3x-1).y}{15x.y}$

d)$\frac{1-x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}}=\frac{1-x}{x^{3}}+\frac{1.x}{x^{2}.x}$

$=\frac{1-x+x}{x^{3}} = \frac{1}{x^{3}}$

e)$\frac{x-2y}{xy^{2}}- \frac{y-2x}{x^{2}y} = \frac{(x-2y).x}{xy^{2}.x}-\frac{(y-2x).y}{x^{2}y.y}$

$= \frac{x^{2}-2xy -y^{2}+2xy}{x^{2}y^{2}}=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}y^{2}}$

g)$\frac{1-y^{2}}{3xy}+ \frac{2y^{3} -1}{6xy^{2}}$

$= \frac{(1-y^{2}).2y}{3xy.2y} + \frac{2y^{3}-1}{3xy.2y} + \frac{2y^{3}-1}{6xy^{2}}$

$=\frac{2y-2y^{3}+ 2y^{3}-1}{6xy^{2}} = \frac{2y-1}{6xy^{2}}$

Bài 4 trang 22 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a)$\frac{b}{a-b} + \frac{a^{2} -3ab}{a{2} b^{2}}$;

b)$\frac{a+3}{a^{2}-1}-\frac{1}{a^{2}+a}$;

c)$\frac{2a}{a^{2}-4a+4} + \frac{4}{2-a}$;

d)$\frac{a+1}{a^{3}-1} - \frac{1}{a^{2}+a+1}$

Giải

a) $\frac{b}{a-b} + \frac{a^{2} -3ab}{a{2} b^{2}}=\frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)}+ \frac{a^{2} -3ab}{(a-b)(a+b)}$

$= \frac{ab+b^{2}+a^{2} -3ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^{2} -3ab}{(a-b)(a+b)} $

$=\frac{(a-b)^{2}}{(a-b) (a+b)} = \frac{a-b}{a+b}$

b) $\frac{a+3}{a^{2}-1}-\frac{1}{a^{2}+a}= \frac{a+3}{(a+1)(a-1)} - \frac{1}{a(a+1)}$

$=\frac{a(a+3)}{a(a+1)(a-1)} - \frac{a-1}{a(a+1)(a-1)}=\frac{a^{2}+2a+1}{a(a+1)(a-1)}$

$= \frac{(a+1)^{2}}{a(a+1)(a-1) }= \frac{a+1}{a(a-1)}$

c) $\frac{2a}{a^{2}-4a+4} + \frac{4}{2-a}=\frac{2a}{(a-2)^{2}} - \frac{4}{a-2}$

$= \frac{2a}{(a-2)^{2}}- \frac{4(a-2)}{(a-2)^{2}}=\frac{2a -4a +8}{(a -2)^{2}} = \frac{8 -2a}{(a-2)^{2}}$

d) $\frac{a+1}{a^{3}-1} - \frac{1}{a^{2} + a + 1}$

$= \frac{a+1}{(a -1) (a^{2} +a + 1} $

$= \frac{a+ 1 -a +1 }{(a -1) (a^{2} + a + 1) }= \frac{2}{a^{3} -1 }$

Bài 5 trang 22 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Tính:

a) $x - \frac{2x-y}{4} + \frac{ x + 4y}{12}$; 

b) $\frac{y}{x} - \frac{x}{y} -\frac{x^{2} + y^{2}}{xy}$;

c) $\frac{4}{x+2}-\frac{3}{x-2}+ \frac{12}{x^{2} + xy}$

d) $\frac{x+ y}{x^{2} -xy} - \frac{4x}{x^{2} - y^{2}} - \frac{x -y } {x^{2} + xy}$

Giải

a)  $x - \frac{2x-y}{4} + \frac{ x + 4y}{12}$

$= \frac{x.12}{12} - \frac{3(2x -y )}{12} + \frac{x+ 4y}{12}$

$=\frac{12x- 6x+3y+x+y}{12} = \frac{7x + 7y}{12}$

b) $\frac{y}{x} - \frac{x}{y} -\frac{x^{2} + y^{2}}{xy}$

$\frac{y.y}{xy} - \frac{x.x}{xy} - \frac{x^{2} + y^{2}}{xy} $

$= \frac{y^{2} - x^{2} - x{2}-y^{2}}{xy}$

$= \frac{-2x^{2}}{xy} = \frac{-2x}{y}$

c) $\frac{4}{x+2}-\frac{3}{x-2}+ \frac{12}{x^{2} + xy} $

$= \frac{4}{x+ 2}- \frac{3} { x -2} + \frac{12}{(x-2)(x+2)} $

$= \frac{4(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{3(x+2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{12}{(x+2)(x-2)}$

$= \frac{4x - 8 - 3x - 6 +12}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} = \frac{1}{x + 2}$

d) $\frac{x+ y}{x^{2} -xy} - \frac{4x}{x^{2} - y^{2}} - \frac{x -y } {x^{2} + xy}$

$= \frac{x+ y}{x(x-y)} - \frac{4x}{(x + y)(x -y)} - \frac{x -y ) ( x -y)}{x(x-y)(x + y)} $

$= \frac{( x + y)^{2} - 4x^{2} - ( x -y)^{2}}{x(x+y)(x-y)} $

$= \frac{x^{2} + 2xy  y^{2} - x^{2} + 2xy - y^{2}}{x(x+ y)(x-y)}$

$= \frac{-3x^{2} + 2xy + y^{2} -x^{2} + 2xy - y^{2} }{x( x+y)(x-y)} $

$=\frac{ -4x^{2}+4xy}{x(x+y)(x -y)} = \frac{ -4x(x-y)}{x(x+y)(x-y)} = \frac{ -4}{x+ y}$

Bài 6 trang 22 SBT Toán 8 tập 1 CTST:Tính:

a) $\frac{1}{ab}+ \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc}$;

b) $\frac{b- a}{ab}+ \frac{c-b}{bc} - \frac{ c -a}{ac}$

Giải

a) $\frac{1}{ab}+ \frac{1}{ac} + \frac{bc}= \frac{1.c}{abc} + \frac{ 1.b}{abc} + \frac{1.a}{abc} = \frac{ a+ b+ c}{abc}$;

b) $\frac{b- a}{ab}+ \frac{c-b}{bc} - \frac{ c -a}{ac}$

$= \frac{c(b-a)}{abc} + \frac{a(c-b)}{abc} - \frac{ b( c -a) }{abc}$

$= \frac{ bc - ac + ac - ab - bc + ab}{abc} = \frac{ (bc- bc) + ( -ac + ac) + ( -ab + ab)}{abc}=\frac{ 0}{abc} = 0$

Bài 7 trang 23 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Tính giá trị của biểu thức:

a) $P = \frac{ 5}{a+b} + \frac{6}{a-b} - \frac{12b}{a^{2} - b^{2}}$ tại a = 012 và b = -0,11

b) $Q = \frac {a^{2} + 2a }{a^{3} -1} -\frac{ 1}{a^{2} + a + 1}$ tại a = 1,25 

Giải

a) Điều kiện $ a^{2} -b^{2}  \neq  0$ 

Rút gọn phân thức

$P = \frac{ 5}{a+b} + \frac{6}{a-b} - \frac{12b}{a^{2} - b^{2}}$

= $ \frac{ 5}{a+b} + \frac{6}{a-b} - \frac{12b}{(a - b)(a+b)}$

= $\frac{5(a-b)}{(a-b)(a+b)} + \frac{6(a+ b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{12b}{(a-b)(a+b)}$

= $ \frac{ 5a - 5b + 6a + 6b - 12b }{(a-b)(a+ b)} = \frac{ 11a -11b}{(a-b)(a+b)}$

Thay a = 012 và b = -0,11 ( thỏa mãn điều kiện)  ta có:

$P = \frac{ 11}{0,12 + (-0,11)} = \frac{ 11}{0,01}= 1 100 $

b) Điều kiện $ a^{3} -1 \neq  0$

Rút gọn phân thức

$Q = \frac{ a^{2}  a }{a^{3} -1}- \frac {1}{a^{2} + a  +1}$ 

= $\frac{ a^{2} + 2a }{ (a-1) (a^{2} + a+ 1)} - \frac{ a-1}{(a-1)(a^{2} + a + 1)}$

= $\frac{ a^{2} + 2a -a + 1 }{ (a-1) (a^{2} + a+ 1)}= \frac{ 1} {a-1}$

Thay a = 1,25 ( thỏa mãn điều kiện) ta có : 

$Q = \frac{ 1}  { 1,25 - 1} = \frac { 1}{0,25} = 4$

Bài 8 trang 23 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Cô Xuân đi bộ quãng đường dài 3 km với tốc độ trung bình x (km/h). Sau đó, cô đi tiếp quãng đường dài 2 km với tốc độ trung bình x – 1 (km/h). Tính tổng thời gian mà cô Xuân đã đi bộ theo x.

Giải

Thời gian cô Xuân đi bộ quãng đường dài 3 km với tốc độ trung bình x (km/h) là: 

$t=\frac{S}{v}=\frac{3}{x}$ ( giờ) 

Thời gian cô đi tiếp quãng đường dài 2 km với tốc độ trung bình x – 1 (km/h) là:

$ \frac{ 2}{x-1}$  (giờ)

Tổng  thời gian mà cô Xuân đã đi bộ theo x.

$ \frac{3}{x} +  \frac{ 2}{x-1} = \frac{ 3(x-1) + 2x}{(x( x-1)}= \frac{ 5x -3}{x(x-1)}$

Bài 9 trang 23 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Một đội công nhân cần sửa x (m) đường. Dự kiến đội sửa được trung bình y (m) đường mỗi ngày. Tuy nhiên, do thời tiết không thuận lợi nên đội chỉ sửa được trung bình z (m) đường mỗi ngày (z < y). Dự án hoàn thành muộn hơn bao lâu so với kế hoạch ban đầu?

Giải 

Thời gian dự kiến đội công nhân sửa được là: $\frac{ x}{y} $( ngày) 

Thời gian thực tế đội công nhân sửa được là: $\frac{ x}{z} $( ngày) 

Dự án hoàn thành muộn hơn so với kế hoạch ban đầu là:

 $\frac{ x}{z} - \frac{ x}{y}  = \frac{ xy}{zy} - \frac{xz}{yz} =\frac{ xy- xz}{zy}$ ( ngày)