Bài 1 trang 56 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Tìm tứ giác lồi trong các hình sau:

Giải

a) Tứ giác ABCD luôn nằm trong cùng một phần mặt phẳng được phân chia bởi đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác nên ABCD là tứ giác lồi.

b) Đường thẳng đi qua cạnh của tứ giác MNPQ chia tứ giác thành hai phần nên MNPQ không phải là tứ giác lồi.

Bài 2 trang 57 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Tìm số đo x trong các tứ giác sau:

Giải

Vì tổng số đo các góc của một tứ giác bằng 360° nên ta có:

a) x + 47° + 86° + 128° = 360°

Suy ra x = 360° ‒ (47° + 86° + 128°) = 99°.

b) x + 90° + 90° + 67° = 360°

Suy ra x = 360° ‒ (90° + 90° + 67°) = 113°.

c) x + 34° + 146° + 34° = 360°

Suy ra x = 360° ‒ (34° + 146° + 34°) = 146°.

Bài 3 trang 57 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Cho tứ giác ABCD như Hình 12.

a) Tính độ dài hai đường chéo và cạnh còn lại của tứ giác ABCD.

b) Cho biết góc B bằng 53°. Tìm số đo góc C.

Giải

a) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABD vuông tại A có:

$BD^{2} = AD^{2} + AB^{2} = 4^{2} + 10^{2} = 116$

Suy ra $BD = \sqrt{116}$

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ADC vuông tại D có:

$AC^{2} = AD^{2} + DC^{2} = 4^{2} + 7^{2} = 65$

Suy ra $AC = \sqrt{65}$

Kẻ CH ⊥ AB (H ∈ AB), mà AD ⊥ AB nên CH // AD

Ta cũng có DC ⊥AD và AB ⊥ AD nên DC // AB

Suy ra $\widehat{DCA} =\widehat{HAC},\widehat{DAC}=\widehat{HCA}$

Xét ∆ADC và ∆CHA có:

$\widehat{DCA} =\widehat{HAC}$ Cạnh AC chung, $\widehat{DAC} =\widehat{HCA}$

Do đó ∆ADC = ∆CHA (g.c.g)

Suy ra: CD = AH, AD = CH

Mà CD = 7, AD = 4 nên AH = 7, CH = 4

Ta có: BH = AB ‒ AH = 10 ‒ 7 =3.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác CBH vuông tại H có:

$BC^{2} = CH^{2} + BH^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$

Suy ra $BC = \sqrt{25} =5$

b) Vì tổng số đo các góc của một tứ giác bằng 360° nên trong tứ giác ABCD có:

$\widehat{A} + \widehat{B}+ \widehat{C}+ \widehat{D} = 360°$

$\Rightarrow \widehat{C} = 360° - \widehat{A} - \widehat{B}- \widehat{C}- \widehat{D} = 360° - 90° - 53°- 90° = 127°$

Bài 4 trang 57 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Bạn Hùng muốn làm một cái diều có dạng hình tứ giác KITE như Hình 13. Cho biết $\widehat{KIT} =  90°, \widehat{KET} = 0°$ , IK = IT, EK = ET. Tìm số đo các góc còn lại của tứ giác KITE.

Giải

Xét ∆KIE và ∆TIE có:

IK = IT, EK = ET, cạnh IE chung

Do đó ∆KIE = ∆TIE (c.c.c), suy ra $\widehat{IKE} = \widehat{ITE}$ là hai góc tương ứng

Vì tổng số đo các góc của một tứ giác bằng 360° nên trong tứ giác KITE ta có:

$\widehat{IKE} + \widehat{KIT} + \widehat{ITE}+ \widehat{KET}= 360°$, mà $\widehat{IKE} = \widehat{ITE}$ 

$\Rightarrow 2\widehat{IKE} +  \widehat{KIT}  +  \widehat{KET} = 360°$

Do đó $\widehat{IKE} = \widehat{ITE} = \frac{ 360°-  \widehat{KIT} - \widehat{KET}}{2} = \frac{ 360°-90° - 70°}{2} = 100°$

Bài 5 trang 57 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Cho tứ giác ABCD có $ \widehat{C}+ \widehat{D}= 10°$ Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại I. Biết $ \widehat{AIB} = °$

Giải

Xét ∆AIB, ta có:  $\widehat{AIB} + \widehat{IAB} + \widehat{IBA} = 180^{\circ}$

Mà $\widehat{AIB} = 65^{\circ} \Rightarrow \widehat{IAB} + \widehat{IBA} = 180 ^{\circ} - 65 ^{ \circ} = 115^{\circ}$

Do AI, BI lần lượt là tia phân giác của $\widehat{DAB},\widehat{ABC}$ nên ta có : 

 $\widehat{DAB}= 2 \widehat{IAB}, \widehat{ABC} =  2\widehat{IBA}$

Do đó $\widehat{A} + \widehat{B} = \widehat{DAB}  \widehat{ABC} =2.(\widehat{IAB} + \widehat{IBA}) = 2. 115^{\circ} = 230^{\circ}$

Xét tứ giác $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^{\circ}$

Suy ra $\widehat{C}  + \widehat{D} = 360^{\circ} - (  \widehat{A} +  \widehat{B}= 360^{\circ} - 230^{\circ} = 130^{\circ} $

Mặt khác $\widehat{C}  - \widehat{D}  = 10^{\circ}$ nên $\widehat{C} = 10^{\circ} + \widehat{D}$

Thay $\widehat{C} = 10^{\circ}+\widehat{D}$ vào $\widehat{C} + \widehat{D} = 130^{\circ} $ ta có: 

$10^{\circ} + \widehat{D}+\widehat{D} = 130^{\circ}$

$\Rightarrow  \widehat{D} = \frac{ 130^{\circ} - 10^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$

Do đó $\widehat{C} =60^{\circ} +10^{\circ} = 70^{\circ}  $

Bài 6 trang 57 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD, $\widehat{C} = 65^{\circ}, \widehat{A}= 115^{\circ}$

a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD.

b) Tính số đo góc B và góc D.

Giải

a) Ta có:

AB = AD (giả thiết), suy ra A thuộc đường trung trực của BD;

CB = CD (giả thiết), suy ra C thuộc đường trung trực của BD.

Vậy AC là đường trung trực của BD.

b) Xét ∆ABC và∆ADC, ta có:

AB = AD (giả thiết); BC = DC (giả thiết); AC là cạnh chung.

Suy ra ∆ABC= ∆ADC (c.c.c).

Do đó $\widehat{B}  + \widehat{D}$ (hai góc tương ứng)

Xét tứ giác ABCD, ta có $\widehat{A}  + \widehat{B}  +  \widehat{C}+  \widehat{D} = 360^{\circ}$

Do đó $\widehat{B} +  \widehat{D} = 360^{\circ} -  115^{\circ} -  65^{\circ} =  180^{\circ}$

Mà $\widehat{B} =\widehat{D}$ nên $\widehat{B} =\widehat{D} \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$

Bài 7 trang 57 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại I. Cho biết BC = 15 cm, CD = 24 cm và AD = 20 cm. Tính độ dài AB.

Giải

Áp dụng định lí Pythagore vào bốn tam giác AIB, BIC, CID, DIA vuông tại I, ta có:

$AB^{2} = IA^{2} + IB^{2}$

$BC^{2} = IB^{2} + IC^{2}$

$CD^{2} = IC^{2} + ID^{2}$

$AD^{2} = IA^{2} + ID^{2}$

Nên $AB^{2} + CD^{2} = IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} + ID^{2}$

Hay AB2 + CD2 = (IB2 + IC2) + (IA2 + ID2)

AB2 + CD2 = BC2 + AD2

AB2 + 242 = 152 + 202

AB2 = 225 + 400 – 576 = 49

Suy ra $AB = \sqrt{49} =7 (cm)$

Bài 8 trang 57 SBT Toán 8 tập 1 CTST: Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác đó.

Giải

Vẽ tứ giác ABCD. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

IA + IB > AB (trong tam giác IAB)

IB + IC > BC (trong tam giác IBC)

IC + ID > CD (trong tam giác ICD)

IA + ID > AD (trong tam giác IAD)

Suy ra2(IA + IB + IC + ID) > AB + BC + CD + DA

Hay 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA

Vậy $AC + BD > \frac{AB + BC+ CD + DA}{2} $ hay tổng độ dài hai đường chéo của một tứ giác lớn hơn nửa chu vi của tứ giác đó.