BÀI 5: HÌNH CHỮ NHẬT - HÌNH VUÔNG

1. HÌNH CHỮ NHẬT

Hoạt động 1 trang 82 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Dùng thước đo góc để đo góc A, B, C, D ở hình 1 và rút ra nhận xét về số đo của chúng

Giải nhanh:

Nhận xét:

Hoạt động 2 trang 82 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho ABCD là hình chữ nhật.

a) Chứng minh AB // CD và AD // BC.

b) Tam giác ABD và tam giác BAC có bằng nhau không? Vi sao?

Giải nhanh:

a) +

+

b) ; ABCD là hình bình hành.  

Xét ABD và BAC: ; AB chung; AD = BC 

Do đó ABD = BAC 

Thực hành 1 trang 83 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho biết a, b, d lần lượt là độ dài các cạnh và đường chéo của một hình chữ nhật. Thay dấu ? trong bảng sau bằng giá trị thích hợp

Giải nhanh:

Hoạt động 3 trang 83 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Giải thích các khẳng định sau:

a) Nếu BAD là góc vuông thì ADC và ABC cũng là góc vuông.

b) Nếu AC = BD thì BAD vuông.

Giải nhanh:

a)

ABCD là hình bình hànhlà góc vuông

+) Hay là góc vuông.

+) Hay là góc vuông.

b) Xét hình bình hành ABCD có: AB // CD ABCD cũng là hình thang 

Lại có hai đường chéo AC = BD ABCD là hình thang cân.

Do đó:

Tương tự ta cũng có:

Hay , do đó

Vận dụng 1 trang 83 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tìm bốn ví dụ về hình chữ nhật trong thực tế.

Giải nhanh:

mặt bảng viết; mặt bìa quyển vở; màn hình ti vi, mặt tủ lạnh

Thực hành 2 trang 84 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Chỉ được sử dụng compa, hãy kiểm tra tứ giác ở Hình 6 có phải là hình chữ nhật hay không.

Giải nhanh:

 hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Vận dụng 2 trang 84 sgk Toán 8 tập 1 CTST

a) Hãy sử dụng eke sao cho chỉ sau ba lần đo ta có thể xác định khung cửa sổ ở Hình 7 có phải là hình chữ nhật hay không.

b) Hãy sử dụng một cuộn dây, xác định khung cửa sổ trong Hình 7 có phải là hình chữ nhật hay không

Giải nhanh:

a) ABCD là hình chữ nhật.

b) 

+ Ta đo đoạn thẳng AB bằng cách đánh dấu 2 điểm trên đoạn dây sao cho hai điểm đánh dấu trùng với hai điểm A, B.

+ Đặt điểm đánh dấu thứ nhất trùng với điểm D và kiểm tra thấy điểm đánh dấu còn lại trùng với điểm C. Khi đó AB = CD.

+ Làm tương tự ta cũng xác định được AD = BC và AC = BD.

AB = CD, AD = BC nên là hình bình hành. Mà  AC = BD là hình chữ nhật.

2. HÌNH VUÔNG

Hoạt động 4 trang 84 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho tứ giác ABCD có bốn góc bằng nhau và có bốn cạnh bằng nhau. Hãy chứng tỏ ABCD vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật.

Giải nhanh:

+ Tứ giác ABCD có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

+ Tứ giác ABCD có bốn góc bằng nhau nên

Do đó ABCD là hình chữ nhật.

Hoạt động 5 trang 85 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình vuông MNPQ. Chứng minh MNPQ vùa là hình thoi vừa là hình chữ nhật

Giải nhanh:

+ Hình vuông MNPQ có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật.

+ Hình vuông MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Thực hành 3 trang 85 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tìm hình vuông trong hai hình sau

Giải nhanh:

hình MNPQ và RSTU đều là hình vuông

Vận dụng 3 trang 85 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tìm bốn ví dụ về hình vuông trong thực tế

Giải nhanh:

Mặt bìa hộp bánh pizza, gạch lát nền, mặt xúc xắc, khung ảnh hình vuông,…

Hoạt động 6 trang 85 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình chữ nhật ABCD. Giải thích tại sao ABCD là hình vuông trong mỗi trường hợp sau:

Trường hợp 1: AB = BC.

Trường hợp 2: AC vuông góc với BD.

Trường hợp 3: AC là đường phân giác của góc BAD.

Giải nhanh:

+) Trường hợp 1: AB = BC

Do ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành.

Lại có hai cạnh kề bằng nhau AB = BC nên hình bình hành ABCD là hình thoi.

ABCD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi ABCD là hình vuông.

+) Trường hợp 2: AC vuông góc với BD.

Do ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo vuông góc nên hình bình hành ABCD là hình thoi.

ABCD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi   ABCD là hình vuông.

+) Trường hợp 3: AC là đường phân giác của góc BAD.

Do ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành.

Lại có đường chéo AC là đường phân giác của góc BAD nên hình bình hành ABCD là hình thoi.

ABCD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi ABCD là hình vuông.

Hoạt động 7 trang 86 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình thoi ABCD. Hãy chứng tỏ:

a) Nếu BAD là góc vuông thì ba góc còn lại của hình thoi cũng là góc vuông.

b) Nếu AC = BD thì BAD là góc vuông.

Giải nhanh:

a)Ta có hình thoi ABCD cũng là hình bình hành.

Mà nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Do đó

b)Ta có hình thoi ABCD cũng là hình bình hành.

Mà hai đường chéo AC = BD nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Do đó .

Thực hành 4 trang 86 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Trong Hình 12, cho biết ABCD là một hình vuông. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác EFGH có ba góc vuông

b) HE = HG

c) Tứ giác EFGH là một hình vuông

Giải nhanh:

a) ABCD là hình vuông nên và AB = BC = CD = DA.

Mà AE = BF = CG = DH nên EB = FC = GD = HA.

Xét AEH và DGH có: ; ;

Do đó AEH = DHG Suy ra

Xét AHE có: Do đó  

Hay =>  là một góc vuông.

CMTT ta cũng có là một góc vuông.

Vậy tứ giác EFGH có ba góc vuông.

b) Do AEH = DHG (câu a)Suy ra HE = HG 

c) CMTT câu b, ta cũng có:

Xét tứ giác EFGH có: EFGH là hình thoi.

Tứ giác EFGH có ba góc vuông  EFGH là hình chữ nhật.

Tứ giác EFGH vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật nên là hình vuông.

Vận dụng 4 trang 86 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Bạn Nam kiểm tra mặt kính của chiếc đồng hồ để bàn và nhận thấy có ba góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau (Hình 13). Hãy cho biết mặt kính đồng hồ có hình gì?

Giải nhanh:

dạng hình vuông.

BÀI TẬP CUỐI SGK 

Bài tập 1 trang 87 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình 14. Tìm x

Giải nhanh:

Xét ABC vuông tại A:

Suy ra BC = 10 (cm).

Xét ABC vuông tại A có AM là trung tuyến .

Do đó

Bài tập 2 trang 87 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình 15. Vẽ thêm điểm P để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Giải nhanh:

Bài tập 3 trang 87 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm dối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K.

a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

b) Chứng minh HG = GK = KE.

Giải nhanh:

a) Do E là điểm đối xứng với H qua I I là trung điểm của HE.

Xét tứ giác AHCE có: I là trung điểm của HE và AC 

Mà AC cắt HE tại I AHCE là hình bình hành (DHNB)

Mà hình bình hành AHCE là hình chữ nhật.

b) Xét AHC có: AM là đường trung tuyếv; HI là đường trung tuyến 

Mà AM cắt HI tại G G là trọng tâm của AHC;

CMTT đối với AEC, ta có K là trọng tâm của  AEC.

Suy ra và

Ta có:  Mà

Lại có:

Mặt khác

Vậy

Bài tập 4 trang 87 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ DE // AB, vẽ DF // AC (E∈AC,F∈AB).

a) Chứng minh rằng tứ giác AEDF là hình chữ nhât.

b) Chứng minh rằng tứ giác BFED là hình bình hành.

Giải nhanh:

a) Tam giác ABC vuông tại A hay .

Do và nên

Do DF // AC và AB ⊥ AC nên DF ⊥ AB hay

Xét tứ giác AEDF có: ;  

AEDF là hình chữ nhật (DHNB)

b) Do AEDF là hình chữ nhật  

Xét ABC () có: AD là đường trung 

Từ đó suy ra

Xét BDF và EFD có: ;BD = EF (cmt);

Do đó BDF = EFD Suy ra FB = DE 

Xét tứ giác BFED có: BFED là hình bình hành

Bài tập 5 trang 87 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Lấy một tờ giấy gấp làm tư để có một góc vuông như trong Hình 16, dùng kéo cắt theo đường MN sao cho OM = ON. Mở phần giấy cắt được ra ta được một tứ giác. 

Tứ giác đó là hình gì? Giải thích kết luận của em.

Giải nhanh:

Ta có nên:

+) O là trung điểm của MP và NQ;

+) và Suy ra .

Xét tứ giác MNPQ có: MP và NQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường 

MNPQ là hình bình hành mà   MNPQ là hình chữ nhật.

Mà  Do đó MNPQ là hình vuông.