CHƯƠNG 3. ĐỊNH LÝ PYTHAGORE. CÁC LOẠI TỨ GIÁC THƯỜNG GẶP

BÀI 5. HÌNH CHỮ NHẬT – HÌNH VUÔNG

1. HÌNH CHỮ NHẬT 

• Định nghĩa

HĐKP1:

Dùng thước đo góc ta xác định được:

A=90°,B=90°,C=90°,D=90°

Nhận xét: A=B=C=D=90°

Kết luận:

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Ví dụ 1: (SGK – tr82)

• Tính chất:

HĐKP2 

a) Ta có:

+ AB ⊥ AD, CD ⊥ AD

⇒AB // CD

+ AD ⊥ AB, BC  ⊥ AB

⇒AD // BC

b) Xét tứ giác ABCD có:

AB // CD

AD // BC

ABCD là hình bình hành.

⇒AD = BC (tính chất hình bình hành).

Xét ∆ABD và ∆BAC có:

BAD=ABC=90°

AB là cạnh chung;

AD = BC (cmt)

Do đó ∆ABD = ∆BAC (hai cạnh góc vuông).

Chú ý:

Hình chữ nhật cũng là hình thang cân và cũng là hình bình hành.

Kết luận:

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Ví dụ 2: (SGK – tr83)

Chú ý:

- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.

- Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

Thực hành 1:

Vận dụng 1.

Bốn ví dụ về hình chữ nhật trong thực tế: mặt bảng viết; mặt bìa quyển vở; màn hình ti vi, mặt tủ lạnh,…

• Dấu hiệu nhận biết

HĐKP3

a)

Do ABCD là hình bình hành

{AB // CD  AD // BC

Do BADlà góc vuông ⇒AD ⊥ AB

Có:

+) {AB // CD  AD ⊥ AB ⇒AD ⊥ CD 

Hay ADClà góc vuông.

+) {AD // BC  AD ⊥ AB ⇒BC ⊥ AB 

Hay ABC là góc vuông.

b) Xét hình bình hành ABCD có:

 AB // CD 

ABCD cũng là hình thang có hai cạnh đáy là AB và CD.

Lại có hai đường chéo AC = BD 

ABCD là hình thang cân.

Do đó: {ABC=DCB BAD=CDA

Tương tự ta cũng có: BAD=ABC

BAD=ABC=DCB=CDA

Mà: BAD+ABC+DCB+CDA=360°

Hay 4BAD=360°, do đó BAD=90°

Kết luận:

Ta có dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình chữ nhật như sau:

1. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

2. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Chú ý:

- Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

- Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

Ví dụ 3: (SGK – tr84)

Thực hành 2.

Gọi tứ giác đã cho là ABCD (hình vẽ).

+ Dùng compa kiểm tra được AB = CD; AD = BC và AC = BD.

+ Tứ giác ABCD có AB = CD và AD = BC nên là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo AC = BD nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Vận dụng 2.

a) Dùng êke ba lần ta đo ba góc:

DAB,ABC,BCDta được DAB=90o,ABC=90o,BCD=90o

Xét tứ giác ABCD có:

 DAB=90oABC=90oBCD=90o

⇒ ABCD là hình chữ nhật.

b) Sử dụng một cuộn dây:

+ Ta đo đoạn thẳng AB bằng cách đánh dấu 2 điểm trên đoạn dây sao cho hai điểm đánh dấu trùng với hai điểm A, B.

+ Đặt điểm đánh dấu thứ nhất trùng với điểm D và kiểm tra thấy điểm đánh dấu còn lại trùng với điểm C. Khi đó AB = CD.

+ Làm tương tự ta cũng xác định được AD = BC và AC = BD.

Tứ giác ABCD có AB = CD, AD = BC nên là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo AC = BD nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

2. HÌNH VUÔNG 

Định nghĩa

HĐKP4.

+ Tứ giác ABCD có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

+ Tứ giác ABCD có bốn góc bằng nhau nên BAD=ABC=DCB=CDA

Mà BAD+ABC+DCB+CDA=360o

Hay 4BAD=360o, suy ra BAD=90o.

Do đó 

BAD=ABC=DCB=CDA=90o

ABCD là hình chữ nhật.

Vậy ABCD vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật.

Kết luận:

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Tính chất:

HĐKP5.

+ MNPQ là hình vuông nên là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

+ Hình vuông MNPQ có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật.

+ Hình vuông MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Vậy hình vuông MNPQ vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.

Nhận xét: 

Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

Ví dụ 4: SGK – tr85

Thực hành 3. 

a)

Tứ giác MNPQ có hai đường chéo cắt nhau MP và NQ tại trung điểm O của mỗi đường nên là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo MP và NQ vuông góc với nhau tại O nên hình bình hành MNPQ là hình thoi (1).

Mặt khác: MP=OM+OP=2OM

                NQ=ON+OQ=2.ON

Mà OM=ON nên MP=NQ.

Ta có MNPQ là hình thoi nên cũng là hình bình hành.

Mà hai đường chéo MP và NQ bằng nhau nên hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình vuông.

b) 

Tứ giác RSTU có RS = ST = TU = UR nên là hình thoi (1)

Do đó RSTU cũng là hình bình hành.

Lại có URS=90° nên hình bình hành RSTU là hình chữ nhật (2)

Từ (1) và (2) suy ra RSTU là hình vuông.

Vậy hai hình MNPQ và RSTU đều là hình vuông

Vận dụng 3:

Bốn ví dụ về hình vuông trong thực tế: 

Mặt bìa hộp bánh pizza, gạch lát nền, mặt xúc xắc, khung ảnh hình vuông,…

Dấu hiệu nhận biết

HĐKP6

+) Trường hợp 1: AB = BC.

Do ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành.

Lại có hai cạnh kề bằng nhau AB = BC nên hình bình hành ABCD là hình thoi.

ABCD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi 

ABCD là hình vuông.

+) Trường hợp 2: AC vuông góc với BD.

Do ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo vuông góc nên hình bình hành ABCD là hình thoi.

ABCD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi 

  ABCD là hình vuông.

+) Trường hợp 3: AC là đường phân giác của góc BAD.

Do ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành.

Lại có đường chéo AC là đường phân giác của góc BAD nên hình bình hành ABCD là hình thoi.

ABCD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi 

ABCD là hình vuông.

HĐKP7.

a)

Ta có hình thoi ABCD cũng là hình bình hành.

Mà BAD=90°nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Do đó ABC=BCD=CDA=90°

b)

Ta có hình thoi ABCD cũng là hình bình hành.

Mà hai đường chéo AC = BD nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Do đó BAD=90°.

Kết luận:

1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

2. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

3. Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

* Chú ý:

- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Ví dụ 5: SGK – tr86

Thực hành 4.

a) Do ABCD là một hình vuông nên A=B=C=D=90°và AB = BC = CD = DA.

Mà AE = BF = CG = DH nên EB = FC = GD = HA.

Xét ∆AEH và ∆DGH có:

A=D=90° 

AE=GH

AH=DG

Do đó ∆AEH = ∆DHG (hai cạnh góc vuông)

Suy ra AEH=DHG (hai góc tương ứng).

Xét ∆AHE có:

 AHE+AEH=90° (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Do đó AHE+DHG=90° 

Hay EHG=180°-AHE+DHG

=180°-90°=90°

Khi đó EHG là một góc vuông.

CMTT ta cũng có HGF,GFE là một góc vuông.

Vậy tứ giác EFGH có ba góc vuông.

b) Do ∆AEH = ∆DHG (câu a)

Suy ra HE = HG (hai cạnh tương ứng).

c) CMTT câu b, ta cũng có: 

HE=EF, HE=FG

Xét tứ giác EFGH có:

 HE=HG=EF=FG 

EFGH là hình thoi.

Tứ giác EFGH có ba góc vuông 

EFGH là hình chữ nhật.

Tứ giác EFGH vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật nên là hình vuông.

Vận dụng 4:

Do mặt kính của chiếc đồng hồ để bàn có ba góc vuông nên mặt kính có dạng hình chữ nhật.

Mà mặt kính có hai cạnh kề bằng nhau nên mặt kính có dạng hình vuông.