BÀI 2. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC

1. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT (C.C.C)

Bài 1:  Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' có các kích thước như Hình 1. Trên cạnh AB và AC của tam giác ABC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AM = 2 cm, AN = 3 cm

a) So sánh các tỉ số

b) Tính độ dài đoạn thẳng MN

c) Em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa các tam giác ABC, AMN và A'B'C'

Giải nhanh:

a) =

b) Tam giác ABC có = , MN // BC

Nên ΔAMNᔕΔABC => = => MN = 4

c) Xét tam giác AMN và A'B'C' có MN = B'C' ;AM = A'B' ;AN = A'C'

Suy ra ΔAMN=ΔA′B′C′ (c.c.c)

Nhận xét: ΔAMN=ΔA′B′C′, ΔA′B′C′ᔕΔABC và ΔAMNᔕΔABC

Bài 2: Tìm trong Hình 4 các cặp tam giác đồng dạng 

Giải nhanh:

Hình b) và d)                  Hình a) và c) 

2. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI (C.G.C)

Bài 1: Cho tam giác DEF và ABC có DE= AB,DF= AC, (Hình 5). Trên tia AB, lấy điểm M sao cho AM = DE. Qua M kẻ MN // BC (N∈AC)

a) So sánh các tỉ số

b) So sánh AN và DF

c) Tam giác AMN có đồng dạng với tam giác ABC không?

d) Dự đoán sự đồng dạng của hai tam giác DEF và ABC

Giải nhanh:

a) Tam giác ABC có MN // BC:

b) Ta có ; ;AM=DF suy ra AN = DF

c) ΔAMNᔕΔABC

d) Xét tam giác DEF và AMN có:; DE = AM (gt); DF = AN (cmt)

Suy ra ΔDEF=ΔAMN Dự đoán: ΔDEFᔕΔABC

Bài 2: Cho tam giác ADE và tam giác ACF có các kích thước như trong Hình 8. Chứng minh rằng ΔADEᔕΔACF

Giải nhanh:

Ta có:

Tam giác ADE và ACF có: ; => ΔADEᔕΔACF (c.g.c)

3. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA (G.G)

Bài 1: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có ; (Hình 9).Trên cạnh AC, Lấy điểm D sao cho DC = A'C'. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh BC tại E.

a) Tam giác DEC có đồng dạng với tam giác ABC không?

b) Nhận xét về mối quan hệ giữa tam giác A'B'C' và tam giác DEC

c) Dự đoán về sự đồng dạng của hai tam giác A'B'C' và ABC

Giải nhanh:

a) Tam giác ABC có DE // AB nên ΔDECᔕΔABC

b) ΔDECᔕΔABC, do đó

Xét tam giác A'B'C' và DEC có: ; A'C' = DC (gt) ; (gt)

Suy ra ΔA′B′C′=ΔDEC (g.c.g)

c) Dự đoán: ΔA′B′C′ᔕΔABC

Bài 2: Quan sát Hình 12.

a) Chứng minh rằng ΔABCᔕΔA′B′C′                   b) Tính độ dài B'C'

Giải nhanh:

a) Tam giác ABC có: = 180⁰ – 79⁰ – 60⁰ = 41⁰

Xét tam giác ABC và A'B'C' có:; => ΔABCᔕΔA′B′C′ (g.g)

b) ΔABCᔕΔA′B′C′ nên => => B'C' = 9

Bài 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 6m, CD = 15m, OD = 8m (Hình 13). Tính độ dài đoạn thẳng OB

Giải nhanh:

Ta có AB // CD nên ;  

Suy ra ΔOABᔕΔOCD nên => OB =

Bài 4: Qua các trường hợp đồng dạng của hai tam giác, hãy trả lời câu hỏi ở Hoạt động khởi động (trang 67)

Giải nhanh:

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1:

a) Tam giác AFE và MNG ở Hình 14 có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

b) Biết tam giác AFE có chu vi bằng 15 cm. Tính chu vi tam giác MNG

Giải nhanh:

a) ; = ; = Suy ra =

Vậy ΔAFEᔕΔMNG

b) Vậy chu vi tam giác MNG là: 15 . 3 = 45 (cm)

Bài 2: Tam giác ABC có độ dài AB = 4 cm, AC = 6 cm, BC = 9 cm. Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC và có chu vi bằng 66,5 cm. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C'

Giải nhanh:

Chu vi tam giác ABC: AB + AC + BC = 19

Tỉ số chu vi của hai tam giác ABC và A'B'C' là: k = =

ΔABCᔕΔA′B′C′ nên = => A′B′=14,A′C′=21,B′C′=

Bài 3: Một công viên có hai đường chạy bộ hình tam giác đồng dạng như Hình 15. Kích thước của con đường bên trong lần lượt là 300 m, 350 m và 550 m. Cạnh ngắn nhất của con đường bên ngoài là 660 m. Nam chạy bốn vòng trên con đường bên trong, Hùng chạy hai vòng trên con đường bên ngoài. So sánh quãng đường chạy được của hai bạn.

Giải nhanh:

Cạnh ngắn nhất của con đường bên ngoài là 600m tương ứng với cạnh ngắn nhất của con đường bên trong là 300m

Do đó, con đường bên trong đồng dạng với con đường bên ngoài theo tỉ số k= nên tỉ số độ dài 2 con đường cũng bằng

Độ dài con đường bên trong là: 300 + 350 + 550 = 1200 (m)

Độ dài con đường bên ngoài: 1200.2 = 2400 (m)

Quãng đường Nam chạy: 1200.4 = 4800 (m); Quãng đường Hùng chạy: 2400.2 = 4800 (m) => bằng nhau.

Bài 4: Xét xem cặp tam giác nào trong các Hình 16a, 16b đồng dạng?

Giải nhanh:

a)Xét tam giác DEF và ABC có: ; = 120⁰

Vậy ΔDEFᔕΔABC (c.g.c)

b)  =  => Hai tam giác này không đồng dạng

Bài 5: Trong Hình 17, cho biết DE = 6 cm, EF= 7,8 cm, NP = 13 cm, NM = 10 cm,  và = 42⁰. Tính

Giải nhanh:

Xét tam giác DEF và MNP ta có:  = ; (gt)

Vậy ΔDEFᔕΔMNP (c.g.c) nên = = 42⁰ 

Bài 6: a) Cho tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 15 cm, BC = 18 cm. Trên cạnh AB, lấy điểm E sao cho AE = 10 cm. Trên cạnh AC, lấy điểm F sao cho AF = 8 cm (Hình 18a). Tính độ dài đoạn thẳng EF

b) Trong Hình 18b, cho biết FD = FC, BC = 9 dm, DE = 12 dm, AC = 15 dm, MD = 20 dm. Chứng minh rằng ΔABCᔕΔMED

Giải nhanh:

a) Xét tam giác AFE và ABC có:  = ; chung

Vậy ΔAFEᔕΔABC (c.g.c) nên  = => EF = 12 cm

b) Xét tam giác ABC và MED ta có:  = ;

Vậy ΔABCᔕΔMED (c.g.c)

Bài 7: Trong Hình 19, cho biết MN // BC, MB // AC.

a) Chứng minh ΔBNMᔕΔABC                   b) Tính

Giải nhanh:

a) MN // BC nên ; MB // AC nên  

Vậy ΔBNMᔕΔABC (g.g)

b) ΔBNMᔕΔABC nên   = 48⁰

Bài 8: a) Trong Hình 20a, cho biết ; , MP = 18 m, DF = 24 m, EF = 32 m, NP = a + 3 (m). Tìm a.

b) Cho ABCD là hình thang (AB // CD) (Hình 20b). Chứng minh rằng ΔAMBᔕΔCMD. Tìm x, y

Giải nhanh:

a) Xét tam giác MNP và DEF có: ;

   => ΔMNPᔕΔDEF (g.g) nên   = =>  =  => a = 21

b) Xét tam giác AMB và CMD ta có: AB // CD nên ;  

=> ΔAMBᔕΔCMD (g.g) nên  = =>  = => x = 20, y = 4

Bài 9: a) Trong Hình 21a, cho biết ; , OH= 6cm và HE = 4 cm. Tính độ dài đoạn thẳng HP.

b) Trong Hình 21b, cho biết . Chứng minh rằng AM² =AE.AF

Giải nhanh:

a) Xét tam giác HOP và HPE có: ;

   suy ra ΔHOPᔕΔHPE nên   = =>  = => HP = 2

b) Xét tam giác AEM và AMF ta có: chung;

Suy ra ΔAEMᔕΔAMF nên  = => AM² =AE.AF

Bài 10: Đường đi và khoảng cách từ nhà anh Thanh (điểm M) đến công ty (điểm N) được thể hiện trong Hình 22. Hãy tìm con đường ngắn nhất để đi từ nhà của anh Thanh đến công ty.

Giải nhanh:

Xét tam giác IAB và ICD ta có: (gt);  

=> ΔIABᔕΔICD nên = => = = 3 => ID = 2,6 ; IA = 7,2

Quãng đường M -> A -> I là: 4,73 + 7,2 = 11,93 (km); M -> B -> I là: 4,27 + 7,8 = 12,07 (km); I -> C -> N là: 2,4 + 1,84 = 4,24 (km); I -> D - > N là: 2,6 + 1,16 = 3,76 (km)

Vậy quãng đường ngắn nhất M -> A -> I -> D -> N với độ dài 15,69 km.