BÀI 3: HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

1. BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG, MỘT HIỆU

Hoạt động 1 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CTST

a) Ba bạn An, Mai và Bình viết biểu thức biểu thị tổng diện tích S của các phần tô màu trong Hình 1 như sau:

Kết quả của mỗi bạn có đúng không? Giải thích.

b) Thực hiện phép nhân và rút gọn đa thức của bạn An.

c) Bằng cách làm tương tự ở câu b), có thể biến 1 đôi biểu thức (a – b)² thành biểu thức nào?

Giải nhanh:

a) + Cạnh của hình vuông ABCD được tạo thành là: a + b.

+ Diện tích S của các phần tô màu chính là diện tích của hình vuông ABCD, và bằng: S = (a + b)² .

Do đó kết quả của bạn An là đúng.

+ Diện tích hình vuông màu vàng AEHG là: a².

+  Diện tích hình vuông màu xanh HICK là: b².

+ Diện tích hình chữ nhật màu hồng EBIH là: ab.

+ Diện tích hình chữ nhật màu hồng GHKD là: ba.

+ Diện tích S của các phần tô màu là: a² + b² + ab + ba.

Do đó kết quả của bạn Mai là đúng.

+ Diện tích hình chữ nhật ABIG là: a.(a + b) = a.a + a.b = a² + ab.

+ Diện tích hình chữ nhật GICD là: (a + b).b = a.b + b.b = ab + b².

+ Diện tích S của các phần tô màu là: a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Vậy kết quả của bạn Bình là đúng.

Thực hành 1 trang 19 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) (3x + 1)²;           b) (4x + 5y)²;        c)         d) (–x + 2y²)²

Giải nhanh:

a) (3x + 1)²= 9x² + 6x + 1.

b) (4x + 5y)²= 16x² + 40xy + 25y².

c)  

d) (–x + 2y²)²= x² – 4xy² + 4y⁴.

Thực hành 2 trang 19 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) a²+10ab+25b²;            b) 1+9a²-6a.

Giải nhanh:

a) a² + 10ab + 25b²= (a + 5b)².

b) 1 + 9a² – 6a= 1² – 2.1.3a + (3a)²= (1 – 3a)².

Thực hành 3 trang 19 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tính nhanh a) 52²            b) 98² 

Giải nhanh:

a) 52² = (50 + 2)² = 50² + 2.50.2 + 2² = 2 500 + 200 + 4 = 2 704.

b) 98² = (100 – 2)² = 100² – 2.100.2 + 2² = 10 000 – 400 + 4 = 9 604.

Vận dụng 1 trang 19 sgk Toán 8 tập 1 CTST

a) Một mảnh vườn hình vuông có cạnh 10 m được mở rộng cả hai cạnh thêm x (m) như Hình 2a. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng.

b) Một mảnh vườn hình vuông sau khi mở rộng mỗi cạnh 5 m thì được một mảnh vườn hình vuông với cạnh là x (m) như Hình 2b. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn trước khi mở rộng.

Giải nhanh:

a) hình vuông với độ dài cạnh là 10 + x (m).

Diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng là:(10 + x)² = 100 + 20x + x² (m²).

b) Mảnh vườn hình vuông trước khi mở rộng có độ dài cạnh là: x – 5 (m).

Diện tích trước khi mở rộng là: (x – 5)² = x² – 2.x.5 + 5² = x² – 10x + 25 (m²).

2. HIỆU CỦA HAI BÌNH PHƯƠNG

Hoạt động 2 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CTST

a) Tử Hình 3a, người ta cắt ghép tạo thành Hình 3b. Viết hai biểu thức khác nhau, mỗi biểu thức biểu thị diện tích (phần tô màu) của một trong hai hình bên.

b) Thực hiện phép nhân và rút gọn đa thức, biến đổi biểu thức (a+b)(ab) thành một đa thức thu gọn. Từ đó, có kết luận gì về diện tích của hai hình bên?

Giải nhanh:

+ Diện tích ABCD là: a².           + Diện tích EGHD là: b².

+ Diện tích phần tô màu ở Hình 3a là: a² – b².

+ Chiều dài của hình chữ nhật trong Hình 3b là: a + b.

+ Chiều rộng của hình chữ nhật trong Hình 3b là: a – b.

+ Diện tích hình chữ nhật Hình 3b là: (a + b)(a – b).

b) (a + b)(a – b) = a.(a – b) + b.(a – b) = a.a – ab + ba – b.b = a² – b².

Vậy hai hình trên có diện tích bằng nhau.

Thực hành 4 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Viết các biểu thức sau thành đa

a) (4-x)(4+x);        b) (2y+7z)(2y-7z);          c) (x+2y²)(x-2y²)

Giải nhanh:

a) (4 – x).(4 + x) = 16 – x².                 b) (2y + 7z).(2y – 7z) = 4y² – 49z².

c) (x + 2y²).(x – 2y²) = x² – 4y⁴.

Thực hành 5 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Tỉnh nhanh: a) 82.78;     b) 87.93;     c) 125² – 25² 

Giải nhanh:

a) 82 . 78 = (80 + 2).(80 – 2) = 6 396. b) 87 . 93 = (90 – 3).(90 + 3) = 8 091.

c) 125² – 25² = (125 + 25).(125 – 25) = 15 000.

Vận dụng 2 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Giải đáp câu hỏi ở trang 18

Giải nhanh:

65² – 35² =100 . 30 = 3 000.               102 . 98 = 100² – 2² = 9 996.

3. LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG, MỘT HIỆU

Hoạt động 3 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Hoàn thành các phép nhân đa thức vào vở, thu được kết quả nhận được

Giải nhanh:

 (a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) = a(a² + 2ab + b²) + b(a² + 2ab + b²) = a.a² + a.2ab + a.b² + b.a² + b.2ab + b.b² = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + (2a²b + a²b) + (ab² + 2ab²) + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

(a – b)³ = (a – b)(a – b)²  = (a – b)(a² – 2ab + b²) = a(a² – 2ab + b²) – b(a² – 2ab + b²) = a.a² – a.2ab + a.b² – b.a² + b.2ab – b.b² = a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³ = a³ – (2a²b + a²b) + (ab² + 2ab²) – b³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

Thực hành 6 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Viết các biểu thức sau thành đa thức:   a) (x + 2y)³           b) (3y – 1)³

Giải nhanh:

a) (x + 2y)³ = x³ + 3.x².2y + 3.x.(2y)² + (2y)³ = x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³.

b) (3y – 1)³ = (3y)³ – 3.(3y)².1 + 3.3y.1² – 1³ = 27y³ – 27y² + 9y – 1.

Vận dụng 3 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Một thùng chứa dạng hình lập phương có độ dài cạnh bằng x (cm). Phần vỏ bao gồm nắp có độ dày 3 cm. Tính dung tích (sức chứa) của thùng, viết kết quả dưới dạng đa thức.

Giải nhanh:

Phần lòng hình lập phương với độ dài cạnh là: x – 3 – 3 = x – 6 (cm).

Thể tích phần lòng: (x – 6)³  = x³ – 18x² + 108x – 216 (cm³).

4. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI LẬP PHƯƠNG

Hoạt động 4 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Giải nhanh:

 (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

a³ + b³ = (a + b)³ – 3a²b – 3ab²  = (a + b)³ – 3ab(a + b)= (a + b)[(a + b)² – 3ab]= (a + b)(a² + 2ab + b² – 3ab)= (a + b)(a² – ab + b²).

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

a³ – b³ = (a – b)³ + 3a²b – 3ab²= (a – b)³ + 3ab(a – b)= (a – b)[(a – b)² + 3ab] = (a – b)(a² – 2ab + b² + 3ab) = (a – b)(a² + ab + b²).

Thực hành 7 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Viết các đa thức sau dưới dạng tích: a) 8y³+1;        b) y³ – 8

Giải nhanh:

a) 8y³ + 1 = (2y)³ + 1= (2y + 1)[(2y)² – 2y.1 + 1²] = (2y + 1)(4y² – 2y + 1)

b) y³ – 8 = y³ – 2³= (y – 2)(y² + y.2 + 2²) = (y – 2)(y² + 2y + 4).

Thực hành 8 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Tính: a) (x+1)(x²-x+1);             b)

Giải nhanh:

a) (x + 1)(x² – x + 1) = x³ + 1

b)  

Vận dụng 4 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Từ một khối lập phương có cạnh bằng 2x + 1, ta cắt bỏ một khối lập phương có cạnh bằng x + 1 (xem Hình 5). Tính thể tích phần còn lại, viết kết quả dưới dạng đa thức.

Giải nhanh:

Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 2x + 1 là: (2x + 1)³.

Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng x + 1 là: (x + 1)³.

Thể tích phần còn lại là: (2x + 1)³ – (x + 1)³ = 7x³ + 9x² + 3x.

BÀI TẬP CUỐI SGK  

Bài tập 1 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Viết các biểu thức sau thành đa thức

a) (3x + 4)²            c)

Giải nhanh:

a) (3x + 4)²= 9x² + 24x + 16.  c)  

Bài tập 2 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu

a) x² + 2x + 1                  b) 9 – 24x + 16x²

Giải nhanh:

a) x² + 2x + 1 = (x + 1)².           b) 9 – 24x + 16x²= (3 – 4x)².

Bài tập 3 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Viết các biểu thức sau thành đa thức

a) (3x - 5)(3x + 5)           b) (x - 2y)(x + 2y)           c)

Giải nhanh:

a) (3x−5)(3x+5)=9−25                   b) (x−2y)(x+2y)= −4

c)  

Bài tập 4 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST

a) Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng 2x + 3 dưới dạng đa thức

b) Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3x - 2 dưới dạng đa thức

Giải nhanh:

a) (2x + 3)² = (2x)² + 2.2x.3 + 3² = 4x² + 12x + 9.

b) (3x – 2)³ = (3x)³ – 3.(3x)².2 + 3.3x.2² – 2³ = 27x³ – 54x² + 36x – 8.

Bài tập 5 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tính nhanh a) 38 . 42      b) 102²        

Giải nhanh:

a) 38 . 42 = (40 – 2).(40 + 2) = 1 596.   b) 102² = (100 + 2)² = 10 404.

Bài tập 6 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Viết các biểu thức sau thành đa thức

a) (2x – 3)³           b) (a + 3b)³           c) (xy –1)³

Giải nhanh:

a) (2x – 3)³= 8x³ – 36x² + 54x – 8.     b) (a + 3b)³= a³ + 9a²b + 27ab² + 27b³.

c) (xy –1)³= x³y³ – 3x²y² + 3xy – 1.

Bài tập 7 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Viết các biểu thức sau thành đa thức

a) (a – 5)(a² + 5a + 25)              b) (x + 2y)(x² – 2xy + 4y²)

Giải nhanh:

a) (a – 5)(a² + 5a + 25) = (a – 5)(a² + a.5 + 5²) = a³ – 125.

b) (x + 2y)(x² – 2xy + 4y²)= x³ + 8y³.

Bài tập 8 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Viết các biểu thức sau thành đa thức

a) (a – 1)(a + 1)(a² + 1)             b) (xy + 1)² – (xy – 1)²

Giải nhanh:

a) (a – 1)(a + 1)(a² + 1) = (a² – 1)(a² + 1) = a⁴ – 1.

b) (xy + 1)² – (xy – 1)²= [xy + 1 + xy – 1].[xy + 1 – xy + 1] = 4xy.

Bài tập 9 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

a) Cho x+y= 12 và xy = 35. Tỉnh (x−y)².      

b) Cho x - y = 8 và xy = 20. Tỉnh (x + y)².

c) Cho x + y = 5 và xy = 6. Tỉnh x³ + y³ 

d) Cho x - y = 3 và xy = 40. Tính x³ – y³  

Giải nhanh:

a) Ta có: (x − y)² = x² – 2xy + y²  = (x + y)² – 4xy

 (x − y)² = (x + y)² – 4xy = 12² – 4.35 = 144 – 140 = 4.

b) Ta có: (x + y)² = x² + 2xy + y²  = (x – y)² + 4xy

 (x + y)² = (x – y)² + 4xy = 8² + 4.20 = 64 + 80 = 144.

c) Ta có: x³ + y³ = (x + y).(x² – xy + y²)= (x + y)³ – 3xy.(x+y)

x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy.(x+y) = 5³ – 3.6.5 = 35.

d) Ta có: x³ – y³ = (x – y).(x² + xy + y²)= (x – y)³ + 3xy. (x – y)

x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy. (x – y) =  3³ + 3.40.3 = 387.

Bài tập 10 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều bằng 5 cm. Thể tích của hình hộp chữ nhật sẽ tăng bao nhiêu nêu:

a) Chiều dài và chiều rộng tăng thêm a cm?

b) Chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều tăng thêm a cm? 

Giải nhanh:

Thể tích hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều bằng 5 cm là: 5³ = 125 (cm³)

a) Chiều dài của hình hộp chữ nhật sau khi tăng thêm a cm là: 5 + a (cm).

Chiều rộng của hình hộp chữ nhật sau khi tăng thêm a cm là: 5 + a (cm).

Thể tích hình hộp chữ nhật lúc sau là:

(5 + a).(5 + a).5 = (5 + a)².5     = 125 + 50a + 5a² (cm³).

thể tích tăng thêm là 125 + 50a + 5a² – 125 = 5a² + 50a (cm³).

b) Chiều cao của hình hộp chữ nhật sau khi tăng thêm a cm là: 5 + a (cm).

Thể tích hình hộp chữ nhật lúc sau là:

(5 + a).(5 + a).(5 + a) = (5 + a)³ = 125 + 75a + 15a² + a³ (cm³).

thể tích tăng thêm là: 125 + 75a + 15a² + a³ – 125 = a³ + 15a² + 75a (cm³).