1. BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG, MỘT HIỆU

Hoạt động 1 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CTST

a) Ba bạn An, Mai, Bình,...

Đáp án: 

a) Cách tính của An 

$AB = a + b => S_{ABCD} = (a+b)^2$

">Cách tính của Mai

$S_{AEHG} = a^2$ ; $S_{HICK} =  b^2$ ; $S_{EBIH} =  ab$ ; $S_{GHKD} =  ba$ 

$S_{ABCD} =  a^2 + b^2 + ab + ba$ 

">Cách tính của Bình

$S_{ABIG} =  (a+b) . a = a^2 + ab$

$S_{GICD}$ = $b . (a+b)$ = $b^2 + ab$

$S_{ABCD} = a^2 + 2ab + b^2$.

Vậy kết quả của ba bạn đều đúng.

b) $(a+b)^2$ = (a+b)(a+b)= a.(a+b) + b.(a+b)

= $a . a + a . b + b . a + b . b$ = $a^2 + 2ab + b^2$ 

c) $(a-b)^2$=(a-b).(a-b)=a.(a-b)-b.(a-b)

= a.a – a.b – b.a + b.b = $a^2 - 2ab + b^2$ 

Thực hành 1 trang 19 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Viết các biểu thức sau thành đa thức...

Đáp án:

1. $(3x  + 1)^{2}$ = $(3x)^2 + 2 . 3x . 1 + 1^2$= $9x^2 + 6x + 1$.
2. $(4x + 5y)^2 = (4x)^2 + 2 . 4x . 5y + (5y)^2 = 16x^2 + 40xy + 25y^2$.
3. $(5x - \frac{1}{2})^2 = (5x)^2 - 2 . 5x . \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$ = $25x^2 - 5x + \frac{1}{4}$
4. $(-x + 2y^2)^{2}$ = $x^2 - 2 . x . 2y^2 + (2y^2)^{2}$ = $x^2 – 4xy^2 + 4y^4$.

Thực hành 2 trang 19 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu...

Đáp án:

1. $a^2 + 10ab + 25b^2$ = $a^2 + 2.a.5b + (5b)^{2}$ = $(a + 5b)^2$.
2. $1 + 9a^2 - 6a = 1^2 - 2 . 1 . 3a + (3a)^2$ = $(1 – 3a)^{2}$.

Thực hành 3 trang 19 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tính nhanh...

Đáp án

1. $52^2 = (50 + 2)^2 = 2^2 + 2.50.2 + 50^2 = 200 + 2500 + 4 = 2 704$
2. $98^2 = (100 – 2)^2 = 100^2 – 2.100.2 + 2^2 = 10 000 – 400 + 4 = 9 604$.

Vận dụng 1 trang 19 sgk Toán 8 tập 1 CTST

a) Một mảnh vườn hình vuông có cạnh 10 m được mở rộng cả hai cạnh thêm x (m) như Hình 2a. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng.

b) Một mảnh vườn hình vuông sau khi mở rộng mỗi cạnh 5m thì được một mảnh vườn hình vuông với cạnh là x (m) như Hình 2b. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn trước khi mở rộng.

Đáp án:

a) Biểu thức biểu thị diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng:

$(x + 10)^2 = x^2 + 20x + 100 (m^2)$

b) Biểu thức biểu thị diện tích mảnh vườn trước khi mở rộng

$(x – 5)^2 = x^2 – 10x + 25 (m^2)$.

2. HIỆU CỦA HAI BÌNH PHƯƠNG

Hoạt động 2 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CTST

a) Từ Hình 3a, người ta cắt ghép tạo thành Hình 3b. Viết hai biểu thức khác nhau, mỗi biểu thức biểu thị diện tích (phần tô màu) của một trong hai hình bên.

b) Thực hiện phép nhân và rút gọn đa thức, biến đổi biểu thức (a + b)(a – b) thành một đa thức thu gọn. Từ đó, có kết luận gì về diện tích của hai hình bên?

Đáp án: 

a) Ta đặt tên các điểm trên Hình 3 như hình vẽ.

Diện tích hình vuông ABCD là $a^2$.

Diện tích hình vuông EGHD là $b^2$

Diện tích phần tô màu ở Hình 3a là $a^2 - b^2$.

Chiều dài của hình chữ nhật trong Hình 3b là $a + b$

Chiều rộng của hình chữ nhật trong Hình 3b là: $a - b$

Diện tích hình chữ nhật (phần tô màu) trong Hình 3b là: $(a - b)(a + b )$

b) Ta có: $(a - b)(a + b) = a.a – ab + ab – b.b = a^2 – b^2$.

Vậy diện tích hai hình bằng nhau.

Thực hành 4 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Viết các biểu thức sau thành đa thức...

Đáp án:

1. $(4 - x)(4 + x) = 4^2 - x^2 = 16 - x^2$
2. $(2y+7z)(2y−7z) = (2y)^2 - (7z)^2 = 4y^2 – 49z^2$
3. $(x + 2y^2)(x - 2y^2) = x^2 - (2y^2)^2 = x^2 – 4y^4$

Thực hành 5 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Tính nhanh...

Đáp án:

a) $82 . 78 = (80 - 2).(80 + 2) = 80^2 - 2^2 = 6 396$

b) $87 . 93 = (90 – 3).(90 + 3) = 90^2 – 3^2 = 8 091$.

c) $125^2 - 25^2 = (125 - 25).(125 + 25) = 100 . 150 = 15 000$.

Vận dụng 2 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Giải đáp câu hỏi ở trang 18

Đáp án:

1. $102 . 98 = (100 + 2).(100 – 2) = 100^2 – 2^2 = 9 996$.
2. $65^2 – 35^2 = (65 - 35).(65 + 35) = 30 . 100 = 3 000$.

3. LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG, MỘT HIỆU

Hoạt động 3 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Hoàn thành các phép nhân đa thức vào vở...

Đáp án:

a) $(a + b)^3 = (a + b)(a + b)$

= $(a + b)(a^2 + 2ab + b^2)$

= $a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3$

= $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

b) $(a – b)^3 = (a – b)(a – b)^2$

= $(a – b)(a^2 – 2ab + b^2)$

= $a^3 – a^2b – 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 – b^3$

= $a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$.

Thực hành 6 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Viết các biểu thức sau thành đa thức...

Đáp án:

a) $(x+2y)^3 = x^3 + 3.x^2.2y + 3.x.(2y)^2 +(2y)^3$ 

= $x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$.

b) $(3y - 1)^3 = (3y)^3 - 3.(3y)^2.1 + 3.3y.1^2 - 1$

= $27y^3 – 27y^2 + 9y – 1$.

Vận dụng 3 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Một thùng chứa dạng hình lập phương có độ dài cạnh bằng x (cm). Phần vỏ bao gồm nắp có độ dày 3 cm. Tính dung tích (sức chứa) của thùng, viết kết quả dưới dạng đa thức

Đáp án:

Phần lòng trong của thùng chứa có dạng hình lập phương với độ dài cạnh là $x – 3 – 3 = x – 6 (cm)$

Dung tích (sức chứa) của thùng là:

$( x-3-3)^3 = (x – 6)^3  = x^3 – 18x^2 + 108x – 216 (cm^3)$.

4. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI LẬP PHƯƠNG

Hoạt động 4 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Sử dụng quy tắc chuyển vế và các tính chất...

Đáp án: 

a) $a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3a^2b – 3ab^2$

= $(a + b)^3 – 3ab(a + b)$

= $(a + b)(a^2 + 2ab + b^2 – 3ab)$

= $(a + b)(a^2 – ab + b^2)$.

b) $a^3 - b^3 = (a – b)^3 + 3a^2b – 3ab^2$

= $(a – b)^3 + 3ab(a – b)$

= $(a – b)(a^2 – 2ab + b^2 + 3ab)$

= $(a – b)(a^2 + ab + b^2)$.

Thực hành 7 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Viết các đa thức sau dưới dạng tích...

Đáp án:

a) $8y^3 + 1 = (2y)^3 + 1^3$

= $(2y + 1)((2y)^2 - 2y - 1)$ 

= $(2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)$

b) $y^3 - 8 = y^3 - 2^3$

= $(y – 2)(y^2 + 2y + 4)$.

Thực hành 8 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Đáp án:

a) $(x + 1)(x^2 - x +1)$

= $(x+1)(x^2 − x + 12) = x^3+1$

b) $(2x−\frac{1}{2})(4x^2 + x + \frac{1}{4})$

= $(2x−\frac{1}{2})[(2x)^2 + x + (\frac{1}{2})^2]$

= $(2x)^3−(\frac{1}{2})^3$

= $8x^3 - \frac{1}{8}$

Vận dụng 4 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Từ một khối lập phương có cạnh bằng...

Đáp án:

Thể tích phần còn lại là:

$(2x+1)^3 − (x+1)^3$

= $[2x + 1 − (x + 1)][(2x + 1)^2 + (2x + 1)(x + 1) + (x + 1)^2]$

= $(2x + 1 − x − 1)(4x^2 + 4x + 1 + 2x^2 + 2x + x + 1 + x^2 + 2x + 1)$

= $x(7x^2 + 9x + 3)$

= $7x^3 + 9x^2 + 3x,$

BÀI TẬP CUỐI SGK  

Bài tập 1 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Viết các biểu thức sau thành đa thức...

Đáp án:

1. $(3x+4)^2 = 9x^2 + 24x + 16$
2. $(5x−y)^2 = 25x^2 − 10xy + y^2$
3. $(xy - \frac{1}{2}y)^2 = x^2y^2 − xy^2 + \frac{1}{4}y^2$

Bài tập 2 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu...

Đáp án:

a) $x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2x + 1^2 = (x+1)^2$

b) $9 − 24x + 16x^2 = 3^2 − 24x + (4x)^2 = (3−4x)^2$

c) $4x^2 + \frac{1}{4} + 2x = (2x)^2 + 2x + (\frac{1}{2})^2 = (2x + \frac{1}{2})^2$ 

Bài tập 3 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Viết các biểu thức sau thành đa thức...

Đáp án:

a) $(3x − 5)(3x + 5) = (3x)^2 − 52$

= $9x^2 − 25$

b) $(x − 2y)(x + 2y) = x^2 − (2y)^2$

= $x^2 − 4y^2$

c) $(−x − \frac{1}{2}y)(−x + \frac{1}{2}y)$

= $(−x)^2 − (\frac{1}{2}y)^2$

= $x^2 − \frac{1}{4}y^2$

Bài tập 4 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST

a) Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng...

Đáp án:

a) Biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng $2x + 3$ là:

$(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2.2x.3 + 3^2$

= $4x^2 + 12x + 9$.

b) Biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng $3x − 2$ là:

$(3x – 2)^3$

= $(3x)^3 – 3 . (3x)^2 . 2 + 3 . 3x . 2^3  – 2^3$

= $27x^3 – 54x^2 + 36x – 8$.

Bài tập 5 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tính nhanh...

Đáp án:

a) $38 . 42 = (40 – 2).(40 + 2) = 40^2 – 2^2$

= $1 600 – 4 = 1 596$.

b) $102^2 = (100 + 2)^2 = 100^2 + 2.100.2 + 2^2$

= $10 000 + 400 + 4 = 10 404$

c) $198^2 = ( 200 - 2 )^2$

$= 200^2 - 2.200.2 + 2^2 = 39 204$

d) $75^2 - 25^2 = (75-25) . (75+25)$

= $50 . 100 = 5 000$

Bài tập 6 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Viết các biểu thức sau thành đa thức...

Đáp án:

a) $(2x – 3)^3$

= $(2x)^3 – 3.(2x)^2.3 + 3.2x.3^2 – 3^3$

= $8x^3 – 36x^2 + 54x – 8$.

b) $(a + 3b)^3$

= $a^3 + 3.a^2.3b + 3.a.(3b)^2 + (3b)^3$

= $a^3 + 9a^2b + 27ab^2 + 27b^3$.

c) $(xy –1)^3$

= $(xy)^3 – 3.(xy)^2.1 + 3.xy.1^2 – 1^3

= $x^3y^3 – 3x^2y^2 + 3xy – 1$.

Bài tập 7 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Viết các biểu thức sau thành đa thức...

Đáp án:

a) $(a – 5)(a^2 + 5a + 25)$

= $(a – 5)(a^2 + a.5 + 5^2)$

= $a^3 - 5^3 = a^3 - 125$.

b) $(x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2) $

= $(x + 2y).[x^2 – x.2y + (2y)^2]$

= $x^3 + (2y)^3 = x^3 + 8y^3$.

Bài tập 8 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Viết các biểu thức sau thành đa thức...

Đáp án:

a) $(a – 1)(a + 1)(a^2+ 1)$

= $(a^2 – 1)(a^2 + 1) = (a^2)^2 – 1^2$

= $a^4 – 1$.

b) $(xy + 1)^2 – (xy – 1)^2$

= $[(xy + 1) + (xy – 1)] . [(xy + 1) – (xy – 1)]$

= $(xy + 1 + xy – 1) . (xy + 1 – xy + 1)$

= $2xy.2 $= $4xy$.

Bài tập 9 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

1. a) Cho $x + y = 12$ và $xy = 35$...

Đáp án:

a) Ta có: $(x − y)^2 $= $x^2 – 2xy + y^2$

= $x^2 + 2xy + y^2 – 4xy$

=  $(x + y)^2 – 4xy$

Thay $x + y = 12$ và $xy = 35$ vào biểu thức trên ta có: 

= $12^2 – 4.35 = 144 – 140 = 4$.

b) Ta có: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

= $x^2 – 2xy + y^2 + 4xy$

= $(x – y)^2 + 4xy$

Thay $x – y = 8$ và $xy = 20$ vào biểu thức trên ta có:

= $8^2 + 4.20 = 64 + 80 = 144$.

c) Ta có: $x^3 + y^3 = (x + y) . (x^2 – xy + y^2)$

= $(x + y) . (x^2 + 2xy + y^2 – 3xy)$

= $(x + y) . [(x + y)^2 – 3xy]$

= $(x + y)^3 – 3xy . (x+y)$

Thay $x + y = 5$ và $xy = 6$ vào biểu thức trên ta có:

= $5^3 – 3.6.5 = 35$.

d) Ta có: $x^3 – y^3 = (x – y) . (x^2 + xy + y^2)$

= $(x – y) . (x^2 – 2xy + y^2 + 3xy)$

= $(x – y) . [(x – y)^2 + 3xy]$

= $(x – y)^3 + 3xy . (x – y)$

Thay $x – y = 3$ và $xy = 40$ vào biểu thức trên ta có:

= $3^3 + 3 . 40 . 3 = 387$

Bài tập 10 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều bằng...

Đáp án:

Thể tích hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều bằng 5 cm là:

$5^3 = 125 (cm^3)$

a) Chiều dài của hình hộp chữ nhật sau khi tăng thêm a cm là: $5 + a (cm)$.

Chiều rộng của hình hộp chữ nhật sau khi tăng thêm a cm là: $5 + a (cm)$.

Thể tích hình hộp chữ nhật lúc sau là:

$(5 + a) . (5 + a) . 5 = (5 + a)^2 . 5$

= $(5^2 + 2 . 5 . a + a^2) . 5$

= $ (25 + 10a + a^2) . 5$

= $25 . 5 + 10a . 5 + a^2 . 5$

= $125 + 50a + 5a^2 (cm^3)$

Khi đó thể tích của hình hộp chữ nhật đã tăng thêm là:

$125 + 50a + 5a^2 – 125 = 5a^2 + 50a (cm^3)$.

b) Chiều cao của hình hộp chữ nhật sau khi tăng thêm a cm là: $5 + a (cm)$.

Thể tích hình hộp chữ nhật lúc sau là:

$(5 + a).(5 + a).(5 + a) = (5 + a)^3$

= $5^3 + 3 . 5^2 . a + 3.5.a^2 + a^3$

= $125 + 75a + 15a^2 + a^3 (cm^3)$.

Khi đó thể tích của hình hộp chữ nhật đã tăng thêm là:

$125 + 75a + 15a^2 + a^3 – 125$

= $a^3 + 15a^2 + 75a (cm^3)$.