BÀI 3: HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

1. BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG, MỘT HIỆU

Hoạt động 1: a) Ba bạn An, Mai và Bình viết biểu thức biểu thị tổng diện tích S của các phần tô màu trong Hình 1 như sau:

Kết quả của mỗi bạn có đúng không? Giải thích.

b) Thực hiện phép nhân và rút gọn đa thức của bạn An

c) Bằng cách làm tương tự ở câu b), có thể biến đổi biểu thức (a - b) thành biểu thức nào?

Đáp án chuẩn:

a) An đúng. Tính diện tích của hình vuông được ghép bởi 4 hình.

Mai đúng. Tính diện tích của 4 hình trong hình vuông rồi cộng lại.

Bình đúng. Tính diện tích hình chữ nhật được ghép bởi hình vuông vàng và hình chữ nhật hồng rồi cộng với hình chữ nhật được ghép bởi hình chữ nhật hồng và hình vuông xanh lá bên dưới.

b) a² + 2ab + b²

c) a² - 2ab + b²

Thực hành 1: Tính:

a) (3x + 1)²

b) (4x + 5y)²

c)

d) (–x + 2y²)²

Đáp án chuẩn:

a) 9x² + 6x + 1.

b) 16x² + 40xy + 25y².

c)  

d) x² – 4xy² + 4y⁴.

Thực hành 2: Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) a² + 10ab + 25b²

b) 1 + 9a² – 6a

Đáp án chuẩn:

a) (a + 5b)².

b) (1 – 3a)².

Thực hành 3: Tính nhanh:

a) 52²

b) 98²

Đáp án chuẩn:

a) 2 704.

b) 9 604.

Vận dụng 1: a) Một mảnh vườn hình vuông có cạnh 10 m được mở rộng cả hai cạnh thêm x (m) như Hình 2a. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng.

b) Một mảnh vườn hình vuông sau khi mở rộng mỗi cạnh 5 m thì được một mảnh vườn hình vuông với cạnh là x (m) như Hình 26. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn trước khi mở rộng.

Đáp án chuẩn:

a) 100 + 20x + x² (m²).

b) x² – 10x + 25 (m²).

2. HIỆU CỦA HAI BÌNH PHƯƠNG

Hoạt động 2: 

a) Từ Hình 3a, người ta cắt ghép tạo thành Hình 3b. Viết hai biểu thức khác nhau, mỗi biểu thức biểu thị diện tích (phần tô màu) của một trong hai hình bên. 

b) Thực hiện phép nhân và rút gọn đa thức, biến đổi biểu thức (a + b)(a - b) thành một đa thức thu gọn. Từ đó, có kết luận gì về diện tích của hai hình bên?

Đáp án chuẩn: 

Hình 3b: (a + b)(a – b).

b) a² – b².

=> Bằng nhau

Thực hành 4: Thực hiện các phép nhân:

a) (4 – x)(4 + x) 

b) (2y + 7z)(2y – 7z) 

c) (x + 2y²)(x – 2y²) 

Đáp án chuẩn:

a) 16 – x².

b) 4y² – 49z².

c) x² – 4y⁴.

Thực hành 5: Tính nhanh:

a) 82 . 78 

b) 87 . 93 

c) 125² - 25²

Đáp án chuẩn:

a) 6 396.

b) 8 091.

c) 15 000.

Vận dụng 2: Giải đáp câu hỏi ở (trang 18)

Đáp án chuẩn:

65² – 35² = (65 + 35) . (65 – 35) = 100 . 30 = 3 000.

102 . 98 = (100 + 2) . (100 – 2) = 100² – 2² = 10 000 – 4 = 9 996.

3. LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG, MỘT HIỆU

Hoạt động 3: Hoàn thành các phép nhân đa thức vào vở, thu gọn kết quả nhận được

Đáp án chuẩn:

+) = (a + b)(a² + 2ab + b²)

= a(a² + 2ab + b²) + b(a² + 2ab + b²)

= a.a² + a.2ab + a.b² + b.a² + b.2ab + b.b²

= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³

= a³ + (2a²b + a²b) + (ab² + 2ab²) + b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

+) = (a – b)(a² – 2ab + b²)

= a(a² – 2ab + b²) – b(a² – 2ab + b²)

= a.a² – a.2ab + a.b² – b.a² + b.2ab – b.b²

= a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³

= a³ – (2a²b + a²b) + (ab² + 2ab²) – b³

= a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

Thực hành 6: Tính:

a) (x + 2y)³

b) (3y – 1)³

Đáp án chuẩn:

a) x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³.

b) 27y³ – 27y² + 9y – 1.

Vận dụng 3: Một thùng chứa dạng hình lập phương có độ dài cạnh bằng x (cm). Phần vỏ bao gồm nắp có độ dày 3 cm. Tính dung tích (sức chứa) của thùng, viết kết quả dưới dạng đa thức.

Đáp án chuẩn:

x³ – 18x² + 108x – 216 (cm³).

4. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI LẬP PHƯƠNG

Hoạt động 4: Sử dụng quy tắc chuyển vế và các tính chất của phép toán, hoàn thành các biến đổi sau vào vở:

Đáp án chuẩn: 

+) = (a + b)[(a + b)² – 3ab] 

= (a + b)(a² + 2ab + b² – 3ab)

= (a + b)(a² – ab + b²).

+) = (a – b)[(a – b)² + 3ab]

= (a – b)(a² – 2ab + b² + 3ab)

= (a – b)(a² + ab + b²).

Thực hành 7: Viết các đa thức sau dưới dạng tích:

a) 8y³ + 1

b) y³ – 8

Đáp án chuẩn:

a) (2y + 1)(4y² – 2y + 1)

b) (y – 2)(y² + 2y + 4).

Thực hành 8: Tính:

a) (x + 1)(x² – x + 1)

b)

Đáp án chuẩn:

a) x³ + 1.

b)  

Vận dụng 4: Từ một khối lập phương có cạnh bằng 2x + 1, ta cắt bỏ một khối lập phương có cạnh bằng x + 1 (xem Hình 5). Tính thể tích phần còn lại, viết kết quả dưới dạng đa thức.

Đáp án chuẩn:

7x³ + 9x² + 3x.

BÀI TẬP CUỐI SGK  

Bài tập 1: Tính:

a) (3x + 4)²

b) (5x - y)²

c)

Đáp án chuẩn:

a) 9x² + 24x + 16

b) 25x² – 10xy + y²

c) 

Bài tập 2: Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) x² + 2x + 1

b) 9 – 24x + 16x²

c) 4x² + + 2x

Đáp án chuẩn:

a) (x + 1)²

b) (3 – 4x)²

c) (2x + )²

Bài tập 3: Viết các biểu thức sau thành đa thức: 

a) (3x - 5)(3x + 5)

b) (x - 2y)(x + 2y)

c)

Đáp án chuẩn:

a) 9x² – 25

b) x² – 4y²

c)  

Bài tập 4: a) Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng 2x + 3 dưới dạng đa thức.

b) Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3x – 2 dưới dạng đa thức.

Đáp án chuẩn:

a) 4x² + 12x + 9.

b) 27x³ – 54x² + 36x – 8.

Bài tập 5: Tính nhanh

a) 38 . 42 

b) 102² 

c) 198²

d) 75² – 25²

Đáp án chuẩn:

a) 1 596.

b) 10 404.

c) 39 204

d) 5000

Bài tập 6: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) (2x – 3)³

b) (a + 3b)³

c) (xy –1)³

Đáp án chuẩn:

a) 8x³ – 36x² + 54x – 8.

b) a³ + 9a²b + 27ab² + 27b³.

c) x³y³ – 3x²y² + 3xy – 1.

Bài tập 7: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) (a – 5)(a² + 5a + 25)

b) (x + 2y)(x² – 2xy + 4y²)

Đáp án chuẩn:

a) a³ – 125.

b) x³ + 8y³.

Bài tập 8: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) (a – 1)(a + 1)(a² + 1)

b) (xy + 1)² – (xy – 1)²

Đáp án chuẩn:

a) a⁴ – 1.

b) 4xy.

Bài tập 9: a) Cho x + y = 12 và xy = 35. Tính (x - y)²

b) Cho x – y = 8 và xy = 20. Tính (x + y)²

c) Cho x + y = 5 và xy = 6. Tính x³ + y³

d) Cho x – y = 3 và xy = 40. Tính x³ - y³

Đáp án chuẩn:

a) 4

b) 144

c) 35

d) 387

Bài tập 10: Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều bằng 5 cm. Thể tích của hình hộp chữ nhật sẽ tăng bao nhiêu nếu:

a) Chiều dài và chiều rộng tăng thêm a cm?

b) Chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều tăng thêm a cm?

Đáp án chuẩn:

a) Tăng thêm 5a² + 50a (cm³).

b) Tăng thêm a³ + 15a² + 75a (cm³).