BÀI 4: HÌNH BÌNH HÀNH - HÌNH THOI

1. HÌNH BÌNH HÀNH

Hoạt động 1: Hình la là hình ảnh của một thước vẽ truyền dùng để phóng to hay thu nhỏ một hình vẽ có sẵn. Dùng thước đo góc để đo số đo của các cặp góc Â1 và D, C1 và D của tứ giác ABCD (Hình 1b) rồi rút ra nhận xét về mối quan hệ giữa các cặp cạnh AB và CD; AD và BC.

a đi ra nhận xét

Đáp án chuẩn:

= và =

AB // CD.

AD // BC.

Hoạt động 2: Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối song song. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Hãy chứng tỏ:

– Tam giác ABC bằng tam giác CDA. 

– Tam giác OAB bằng tam giác OCD.

Đáp án chuẩn:

ABC = CDA (g.c.g).

OAB = OCD (g.c.g).

Thực hành 1: Cho hình bình hành PQRS với là giao điểm của hai đường chéo (Hình 4). Hãy chỉ ra các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau có trong hình.

Đáp án chuẩn:

+ Các đoạn thẳng bằng nhau: PQ = RS; PS = QR; IP = IR; IS = IQ.

+ Các góc bằng nhau:

 =;=; =;

=;=; =; =;=; =

Vận dụng 1: Mắt lưới của một lưới bóng chuyền có dạng hình tứ giác có các cạnh đối song song (Hình 5). Cho biết độ dài hai cạnh của tứ giác này là 4 cm và 5 cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại.

Đáp án chuẩn:

4 cm và 5 cm

Vận dụng 2: Mặt trước của một công trình xây dựng được làm bằng kính có dạng hình bình hành EFGH với M là giao điểm của hai đường chéo (Hình 6). Cho biết EF = 40 m, EM = 36 m, HM = 16 m. Tính độ dài cạnh HG và độ dài hai đường chéo.

Đáp án chuẩn:

HG = 40 m 

EG = 72 m, FH = 32 m.

Hoạt động 3: Cho tứ giác ABCD có P là giao điểm của hai đường chéo. Giải thích tại sao AB // CD và AD // BC trong mỗi trường hợp sau:

Trường hợp 1: AB=CD và AD = BC (Hình 7a). 

Trường hợp 2: AB // CD và AB = CD (Hình 7b). 

Trường hợp 3: AD // BC và AD = BC (Hình 7c). 

Trường hợp 4: Â=C, B = D (Hình 7d).

Trường hợp 5: PA=PC, PB = PD (Hình 7e).

Đáp án chuẩn:

a) = và= (các cặp góc tương ứng).

Vì = và hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Vì = và hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

b) = và hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

= (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.g

c) = và hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

= (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

d) và +180°

Do đó AD // BC và AB // CD.

e)= mà hai góc này ở vị trí so le trong AB // CD.

= (hai góc tương ứng) hay =

mà hai góc này ở vị trí so le trong 

AD // BC.

Thực hành 2: Trong các tứ giác ở Hình 9, tứ giác nào không là hình bình hành?

Đáp án chuẩn:

Tứ giác RSTU 

Vận dụng 3: Quan sát Hình 10, cho biết ABCD và AKCH đều là hình bình hành. Chứng minh ba đoạn thẳng AC, BD và HK có cùng trung điểm O.

Đáp án chuẩn:

AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

AC và HK cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

=> Ba đoạn thẳng AC, BD và HK có cùng trung điểm O.

2. HÌNH THOI

Hoạt động 4: Hình 11a là hình chụp tấm lưới thép được đan thành nhiều mắt. Hình 11b là hình vẽ phóng to của một mắt lưới. Đo độ dài các cạnh của tứ giác ABCD và rút ra nhận xét.

Đáp án chuẩn:

Bằng nhau

Hoạt động 5: a) Hình thoi có là hình bình hành không?

b) Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo (Hình 13b). Các tam giác OAB, OCB, OCD, OAD có bằng nhau không?

Đáp án chuẩn:

a) Có

b) OAB = OAD = OCD = OCB.

Thực hành 3: Cho hình thoi MNPQ có I là giao điểm của hai đường chéo.

a) Tính MP khi biết MN = 10 dm, IN = 6 dm.

b) Tính góc khi biết MNP = 128°

Đáp án chuẩn:

a) MP = 16 dm.

b) 26°

Vận dụng 4: Tính độ dài cạnh của các khuy áo hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là 3,2 cm và 2,4 cm.

Đáp án chuẩn:

2 cm.

Hoạt động 6: Cho ABCD là một hình bình hành. Giải thích tại sao tứ giác ABCD có bốn cạnh bằng nhau trong mỗi trường hợp sau: 

Trường hợp 1: AB=AD.

Trường hợp 2: AC vuông góc với BD.

Trường hợp 3: AC là đường phân giác góc BAD.

Trường hợp 4: BD là đường phân giác góc ABC.

Đáp án chuẩn:

+ Trường hợp 1: ABCD là hình bình hành => AD = BC và AB = CD.

Lại có AB = AD (gt) => AB = AD = BC = CD.

+ Trường hợp 2: OAB = OCB (hai cạnh góc vuông)

=> AB = CB (hai cạnh tương ứng).

Mà AD = BC và AB = CD => AB = CD = CB = DA.

+ Trường hợp 3: Tam giác ACD cân tại D => DA = DC.

Lại có AB = CD và AD = BC => AB = BC = CD = DA.

+ Trường hợp 4: Chứng minh tương tự như trường hợp 3 

Vận dụng 5: Một hoa văn trang trí được ghép bởi ba hình tứ giác có độ dài mỗi cạnh đều bằng 2 cm (Hình 18). Gọi tên các tứ giác này và tính chu vi của hoa văn.

Đáp án chuẩn:

Hình thoi

C = 24 cm.

Vận dụng 6: Một tứ giác có chu vi là 52 cm và một đường chéo là 24 cm. Tìm độ dài của mỗi cạnh và đường chéo còn lại của tứ giác đó nếu biết hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường.

Đáp án chuẩn:

Độ dài cạnh: 13 cm 

Độ dài đường chéo còn lại: 10 cm.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1: Cần thêm một điều kiện gì để mỗi tứ giác trong Hình 19 trở thành hình bình hành?

Đáp án chuẩn:

a) Trường hợp 1: Tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song. 

=> Cần thêm điều kiện AD // BC.

+) Trường hợp 2: Tứ giác ABCD có cặp cạnh đối vừa song song, vừa bằng nhau. => Cần thêm điều kiện AB = CD.

b) Trường hợp 1: Tứ giác EFGH có hai cặp cạnh đối bằng nhau. 

=> Cần thêm điều kiện EF = GH.

+) Trường hợp 2: Tứ giác EFGH có cặp cạnh đối vừa song song, vừa bằng nhau. => Cần thêm điều kiện EH // GF.

c) Cần thêm điều kiện O là trung điểm của MP.

d) Cần thêm điều kiện =.

Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H và CK vuông góc với BD tại K (Hình 20).

a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

b) Gọi I là trung điểm của HK. Chứng minh IB = ID.

Đáp án chuẩn:

a) Tứ giác AHCK có và  

AHCK là hình bình hành (DHNB).

b) I là trung điểm của BD, hay IB = ID.

Bài tập 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, E và F lần lượt là giao điểm của AK và CL với BD.

a) Chứng minh tứ giác AEFI là hình thang.

b) Chứng minh DE=EF = FB.

Đáp án chuẩn:

a)DE // BF; DE = BF 

=> EBFD là hình bình hành (DHNB).

b) O là trung điểm của EF.

=> Ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Bài tập 4: Cho hình bình hành ABCD (AB>BC). Tia phân giác của góc D cắt AB tại E, tia phân giác của góc B cắt CD tại E.

a) Chứng minh DE // BE.

b) Tứ giác DEBF là hình gì?

Đáp án chuẩn:

a) = 

Mà hai góc này ở vị trí so le trong => DE // BF.

b)  

=> DEBF là hình bình hành (DHNB).

Bài tập 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD,

E và F lần lượt là giao điểm của AK và CI với BD.

a) Chứng minh tứ giác AEFI là hình thang.

b) Chứng minh DE=EF=FB

Đáp án chuẩn:

a) AE // IF 

AEIF là hình thang.

b)

=>

Bài tập 6: Quan sát hình 21. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình thoi.

Đáp án chuẩn:

Tứ giác EFGH có nên là hình thoi.

Bài tập 7: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Biết AC = 6 cm, BD = 8 cm. Tính độ dài cạnh của hình thoi ABCD.

Đáp án chuẩn:

AB = BC = CD = DA = 5 (cm)

Bài tập 8: Cho tam giác ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D đối xứng với điểm A qua BC.

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình thoi.

b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC, lấy điểm O sao cho E là trung điểm của OM. Chứng minh hai tam giác AOB và MBO vuông và bằng nhau.

c) Chứng minh tứ giác AEMF là hình thoi

Đáp án chuẩn:

a) ABDC là hình bình hành có hai đường chéo

ABDC là hình thoi.

b) và nên , do đó MBO vuông tại B.

và nên , do đó AOB vuông tại O.

MBO = AOB (hai cạnh góc vuông).

c) Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Bài tập 9 trang 81 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tìm các hình bình hành và hình thang có trong Hình 22.

Đáp án chuẩn:

- Hình bình hành: ABCD, AQGF.

- Hình thang: AECD, AFMD, AFGP, AFMN, PDMG, QDMG, QNMG.